Question

如图所示，虚线OL与y轴的夹角为θ=60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M．粒子在磁场中运动的轨道半径为R．粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点（图中未画出），且

.

OD

=R．不计重力．求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

根据题意，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动轨迹交虚线OL于A点，圆心在y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴的P点，设AP与x轴的夹角为β，如右图所示
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

    ①
周期为T=

2πR

v

=

2πm

qB

       ②
过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D．
由几何知识得

.

AD

=Rsinα，

.

OD

=

.

AD

cot60°，

.

BP

=

.

OD

cotβ，

.

OP

=

.

AD

+

.

BP

，α=β     ③
联立得到 sinα+

1

3

cosα=1
解得 α=30°，或α=90°
设M点到O点的距离为h，有 

.

AD

=Rsinα    h=R-

.

OC

，

.

OC

=

.

CD

-

.

OD

=Rcosα-

3

3

.

AD

联立得到 h=R-

2

3

Rcos(α+30°)（1分）
解得 h=(1-

3

3

)R（α=30°）   或  h=(1+

3

3

)R（α=90°）   
当α=30°时，粒子在磁场中运动的时间为t=

T

12

=

πm

6qB

当α=90°时，粒子在磁场中运动的时间为t=

T

4

=

πm

2qB

答：M点到O点的距离h=(1-

3

3

)R或h=(1+

3

3

)R；粒子在磁场中运动的时间为

πm

6qB

或

πm

2qB

．