Question

如下图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M（M=3m）的光滑框架内．小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度．现设框架与小物块以共同速度v₀沿光滑水平面向左匀速滑动．
（1）若框架与墙壁发生碰撞后速度为零，但与墙壁不粘连，求框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值．
（2）若框架与墙壁发生碰撞以一定速度反弹，在以后过程中弹簧的最大弹性势能为

2

3

mvo2，求框架与墙壁碰撞时损失的机械能△E₁．
（3）在（2）情形下试判定框架与墙壁能否发生第二次碰撞？若不能，说明理由．若能，试求出第二次碰撞时损失的机械能△E₂．（设框架与墙壁每次碰撞前后速度大小之比不变）

Answer 1

（1）框架与墙壁碰撞后，物块以V₀压缩弹簧，后又返回，
当返回原位时框架开始离开，由机械能守恒知，此时物块速度是v₀方向向右．
设弹簧有最大势能时共同速度为v，由动量守恒定律知：mv₀=4mv，
由能量守恒定律

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv²+E_Px，
解得：E_PX=

3

8

mv₀²；                                           
（2）设框架反弹速度为v₁，最大势能时共同速度为v，则
由动量、能量守恒定律得
3mv₁-mv₀=4mv，

1

2

×3mv₁²+

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv′²+

2

3

mv₀²，
解得：v₁=

v0

3

，v₁′=-

7

3

v₀（舍去），
代入解得：v′=0，
△E₁=

1

2

×3mv₀²-

1

2

×3mv₁²=

4

3

mv₀²，
（3）由（2）知第一次碰后反弹后，二者总动量为零，故当弹簧再次伸展后仍可继续与墙壁相撞，并以V₁=

v0

3

速度与墙壁相撞，由题意知，

v2

v1

=

v1

v0

，所以v₂=

v0

9

，
故△E₂=

1

2

×3m(

v0

3

)2-

1

2

×3m(

v0

3

)2=

4

27

mv₀²，
答：（1）弹簧弹性势能的最大值为

3

8

mv₀²；
（3）框架与墙壁碰撞时损失的机械能为

4

3

mv₀²；
（4）能，第二次碰撞时损失的机械能为

4

27

mv₀²．