Question

某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如右图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆，球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3…….N，球的质量依次递减，每个球的质量与其相邻左球质量之比为k(k＜1)。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。并假设所有的球作为主动球完成一次碰撞后均由于某种原因与绳脱离并作自由落体运动。(不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s²)?
（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n，求n+1号球被碰撞后瞬间的速度。?
（2）若N=5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16h（16h小于绳长），问k值为多少？

Answer 1

(1) v _n+1′= （2）k=-1≈0.414

（1）设n号球质量为m_n，n+1号球质量为m_n+1，碰撞后的速度分别为v_n′、v_n+1′，取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0，且m_n+1=km_n?     
根据动量守恒定律，有m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′①?
根据机械能守恒定律，有m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²       ②?  
由①②得v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)?   
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁，由机械能守恒定律有?m₁gh=m₁v₁² ④?? 
解得              v₁= ⑤? 
同理可求5号球碰后瞬间的速度?v₅= ⑥??
设n+1号球与n+2号球碰前的速度为v_n+1??据题意有v_n+1=v _n+1′[
v_n+1=ⁿv₁ ⑦?     
N=n+1=5时，v₅=（）⁴v₁    ⑧?    
由⑤⑥⑧三式得?        k=-1≈0.414(k=--1舍去)    ⑨?