Question

5．如图1所示，加速电场的加速电压为U₀=50V，在它的右侧有水平正对放置的平行金属板a、b构成的偏转电场，且此区间内还存在着垂直纸面方向的匀强磁场B₀．已知金属板的板长L=0.1m，板间距离d=0.1m，两板间的电势差u_ab随时间变化的规律如图2所示．紧贴金属板a、b的右侧存在半圆形的有界匀强磁场，磁感应强度B=0.01T，方向垂直纸面向里，磁场的直径MN=2R=0.2m即为其左边界，并与中线OO′垂直，且与金属板a的右边缘重合于M点．两个比荷相同、均为q/m=1×10⁸ C/kg的带正电的粒子甲、乙先后由静止开始经过加速电场后，再沿两金属板间的中线OO′方向射入平行板a、b所在的区域．不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用力，忽略偏转电场两板间电场的边缘效应，在每个粒子通过偏转电场区域的极短时间内，偏转电场可视作恒定不变．
（1）若粒子甲由t=0.05s时飞入，恰能沿中线OO′方向通过平行金属板a、b正对的区域，试分析该区域的磁感应强度B₀的大小和方向；
（2）若撤去平行金属板a、b正对区域的磁场，粒子乙恰能以最大动能飞入半圆形的磁场区域，试分析该粒子在该磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得加速粒子经加速电场加速后的速度，再根据粒子在ab间运动时电场力与洛伦兹力平衡求得ab间的磁场强度B₀；
（2）粒子进入磁场获得最大的动能，可知粒子进入ab时电场的加速电压最大，且粒子恰好沿ab极板的下极板边缘射出电场，求得粒子射出电场时的速度，进入磁场后粒子做圆周运动，根据几何关系求得粒子圆周运动转过的圆心角，从而求得粒子运动的时间即可．

解答 解：（1）粒子在加速电场中加速，由动能定理有：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$=1×10⁵m/s，
由乙图图象可知，当t=0.05s时，U_ab=50V
带电粒子在两板间运动时，恰好沿OO′射出说明粒子在复合场中受到的电场力与洛伦兹力平衡
所以有：qv₀B₀=qE=q$\frac{{U}_{ab}}{d}$，解得：B₀=$\frac{{U}_{ab}}{d{v}_{\;}}$=5×10^-3T，
据左手定则知，磁场方向垂直纸面向里；
（2）撤去平行金属板正对磁场，带电粒子将做类平抛运动，若获得最大动能，
则有粒子在两板间的偏转电压最大且刚好从下板边缘飞出，据此有：
水平方向：L=v₀t…①
竖直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²…②
粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{q{U}_{ab}′}{md}$…③
由①②③可得U_ab′=100V＜200V
可知假设成立，当U_ab=100V时，粒子离开偏转电场时获得最大动能
粒子在电场中运动时间为：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=1×10^-6s，
粒子离开电场时在电场方向的上的速度为：v_y=at=1×10⁵m/s=v₀，
所以粒子进入磁场时的速度为：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
粒子进入磁场时的速度方向与水平方向成45°角．
粒子进入磁场时在洛伦兹力作用下做圆周运动，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得圆周运动的半径为：r=$\frac{mv}{qB}$=0.14m，

如图，由几何关系可得：sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\frac{R}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$=2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s；
答：（1）若粒子甲由t=0.05s时飞入，恰能沿中线OO′方向通过平行金属板a、b正对的区域，该区域的磁感应强度B₀的大小为5×10^-3T，方向垂直纸面向里；
（2）若撤去平行金属板a、b正对区域的磁场，粒子乙恰能以最大动能飞入半圆形的磁场区域，该粒子在该磁场中的运动时间为2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场和电场中的运动，根据动能定理求出经过加速电场后的速度，由两极板间匀速列出受力平衡的公式，求出磁感应强度大小及方向，进入磁场中根据题目所给条件画出粒子运动轨迹，借助几何关系求解．本题难度中等．