Question

在竖直面内有一光滑水平直轨道和一光滑半圆形轨道，二者在半圆的一个端点B相切，如图所示，半圆形轨道的另一端点为C，半径为R．在直轨道上距离B为x的A点，有一可看作质点的质量为m的小球处于静止状态．现用水平恒力将小球推到B处后撤去恒力，小球沿半圆轨道运动到C处后又落到水平面上．求：
（1）若小球正好落到出发点A处，在这种情况下：
①用x和给出的已知量来表达推力对小球所做的功；
②x取何值时，水平恒力做功最小？最小值为多少？
③x取何值时，所用水平恒力最小？最小值为多少？
（2）在任意情况下，x取任意值，求小球在B处和C处对轨道的压力大小之差．

Answer 1

分析：（1）分析小球运动的过程，可发现小球由A到B做匀加速直线运动，B到C做曲线运动，从C点开始做平抛运动；由平抛运动的规律可求得C点的速度，由运动定理可求得推力所做的功；当推力做功最小时，小球应能恰好通过C点，此时重力充当向心力，由向心力公式可求得最小速度，即可解得最小位移，求出最小功；
（2）由向心力公式分别求得BC处的压力表达式，由机械能守恒可得出速度关系，即可求得压力之差．

解答：解：（1）小球正好落到A点，小球由C到A做平抛运动，
①水平方向有：X=V_Ct
竖直方向有：y=2R=

1

2

gt²
联立解得：V_C²=

gX2

4R

；
对小球从A到C，由动能定理得：
W_F-mg2R=

1

2

mV_C²
解得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
推力对小球做的功为：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
②当 W_F有最小值时，小球应恰能到达C处（设此时小球的速度为V₀ ），此时小球在C处只受重力作用，由牛顿第二定律得：
mg=m

v02

R

又因为小球仍能落到A处，所以V_C²=

gX2

4R

仍成立，即：V₀²=V_C²；
即：gR=

gX2

4R

，
解得：X=2R；
代入第一问求得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

=2.5mgR；
推力做的最小功为2.5mgR；
③根据题意可知，当2mgR=m

gX2

8R

时，恒力F最小，解得：x=4R，
即：W_F=Fx=2mgR+2mgR
解得：F=mg
（2）由牛顿第二定律可知，小球在B处时有：F_B-mg=m

vB2

R

小球在C处时有：F_C+mg=m

vC2

R

；
由B到C机械能守恒，则有：

1

2

mV_B²-

1

2

mV_C²=mg2R
解得：F_B-F_C=6mg；
小球在B处与C处压力之差为6mg，和X的取值无关．
答：（1）①推力对小球所做的功的表达式为W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
  ②．当X=2R，推力做的最小功为2.5mgR；
③．当X=4R时恒力最小为mg；
（2）小球在B处和C处对轨道的压力大小之差为6mg

点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒、向心力公式及牛顿第二定律的应用，解决此类问题应沉着冷静，认真分析物体的运动过程，将其分解为我们常见的物理学模型，如平抛、自由落体、圆周运动等，即可利用常见公式进行解答．