题目内容

如图,ABCD为竖直平面内的光滑绝缘轨道,其中AB段是倾斜的,倾角为37°,BC段是水平的,CD段为半径R=0.15m的半圆,三段轨道均光滑连接,整个轨道处在竖直向下的匀强电场中,场强大小E=5.0×103 V/m.一带正电的导体小球甲,在A点从静止开始沿轨道运动,与静止在C点不带电的相同导体小球乙发生弹性碰撞,碰撞后速度交换(即碰后甲的速度变成碰前瞬间乙的速度,乙的速度变成碰前瞬间甲的速度).已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10-2㎏,小球甲所带电荷量为q=2.0×10-5C,g取10m/s2,假设甲、乙两球可视为质点,并不考虑它们之间的静电力,且整个运动过程与轨道间无电荷转移.
(1)若甲、乙两球碰撞后,小球乙恰能通过轨道的最高点D,试求小球乙在刚过C点时对轨道的压力;
(2)若水平轨道足够长,在甲、乙两球碰撞后,小球乙能通过轨道的最高点D,则小球甲应至少从距BC水平面多高的地方滑下?
(3)若倾斜轨道AB可在水平轨道上移动,在满足(1)问和能垂直打在倾斜轨道的条件下,试问小球乙在离开D点后经多长时间打在倾斜轨道AB上?
分析:(1)小球乙恰能通过轨道的最高点D时,由重力和电场力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律和向心力公式求出小球乙通过D点时的速率,对于乙球从C到D过程,根据动能定理求出乙球在C点时的速率,由牛顿第二定律和第三定律结合求解小球乙在刚过C点时对轨道的压力;
(2)甲球从A到C的过程,根据动能定理求解甲球刚滑下时的高度;
(3)小球乙离开D点做类平抛运动,垂直打在倾斜轨道时,速度与倾斜轨道垂直,运用运动的分解法求解时间.
解答:解:因甲乙小球相同,则碰撞后两个小球的电量都为q=
1
2
q=1.0×10-5
其电场力F=Eq=0.05N,G=mg=0.1N
(1)设小球乙恰能通过轨道的最高点D时的速率为vD,在D点:由牛顿第二定律得:
Eq+mg=m
v
2
D
R
解得:vD=1.5m/s               
小球乙从C到D的过程,由动能定理:
   -(mg+Eq)×2R=
1
2
m
v
2
D
-
1
2
m
v
2
C

在C点:由牛顿第二定律得:NC-mg-Eq=m
v
2
C
R

解得:NC=6(Eq+mg)=0.9N                             
由牛顿第三定律得:小球乙在刚过C点时对轨道的压力大小为N=0.9N,方向竖直向下.
(2)设小球甲从高度为h时滑下与小球乙碰撞后,小球乙恰能通过轨道的最高点D,
由动能定理:(mg+Eq)×h=
1
2
m
v
2
C

解得:h=
3
160
m                                      
(3)小球乙离开D点做类平抛运动,加速度a=
Eq+mg
m
=15m/s2
当小球乙垂直打在斜面上时,其竖直速度vy=at=vctan53°=0.2m/s
 故:时间t=
1
75
s                                         
答:
(1)小球乙在刚过C点时对轨道的压力是0.9N,方向竖直向下.
(2)小球甲应至少从距BC水平面
3
160
m
高处的地方滑下.
(3)小球乙在离开D点后经
1
75
s时间打在倾斜轨道AB上.
点评:本题是动能定理与向心力、类平抛运动的综合,要抓住小球乙刚好到达最高点D的临界条件,求出临界速度,分段运用动能定理.
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