Question

如图所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与“2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R=0.4m的圆管轨道，已知AB圆管轨道半径与“0”字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由半径为2R的光滑圆弧和半径为R的光滑圆弧以及两段光滑的水平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P，现让质量m=0.5kg的闪光小球（可视为质点）从距A点高H=2.4m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为v=8m/s，g取10m/s²．求：
（1）小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功；
（2）小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力；
（3）小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移以及小球落地时速度的大小．

Answer 1

【答案】分析：仔细审题，对粗糙管道运动过程应用动能定理求解，对平抛运动，应用平抛规律求解．
解答：解：（1）、小球从初始位置到达缝隙P的过程中，由动能定理有
mg（H+3R）-W_F=mv²-0
代入数据得W_F=2 J．
故小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功为2J．
（2）、设小球到达最高点N时的速度为v_N，由机械能守恒定律有
mv²=mg?4R+m
在最高点N时，根据牛顿第二定律有F_N+mg=
联立解得F_N=35 N．根据牛顿第三定律小球对轨道的压力为35N．
故小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力为35N．
（3）、小球从初始位置到达C点的过程中，由动能定理有
mg（H+R）-W_F=m-0
解得v_C=6.93 m/s
小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动，由平抛规律
竖直方向：2R=gt²，解得t=0.4 s；落地时竖直分速度=gt=4 m/s
水平方向：DE=v_Ct=2.77 m
所以平抛运动的水平位移为2.77 m
小球落地时速度的大小为v_E==8 m/s．
故小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移以及小球落地时速度的大小为8m/s．
点评：涉及到曲线运动，有摩擦的情况要用动能定理求解，列式时注意功的正负．若无阻力做功只有重力做功情况可用机械能守恒定律求解．