Question

13．“天宫一号“是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形.2013年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．现已知“太空一号”飞行器距离地球表面高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，假设“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G．求：
（1）地球的质量M；
（2）地球的第一宇宙速度v；
（3）“天宫一号”的运行周期T．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力与万有引力相等，据此由地球半径和表面的重力加速度和万有引力常量求得地球的质量；
（2）第一宇宙速度就是绕地球表面运行的卫星的线速度，由万有引力提供圆周运动向心力求得；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力求得天宫一号的周期．

解答 解：（1）在地球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$
（3）天宫一号的轨道半径r=R+h
据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球的质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度v为$\sqrt{gR}$；
（3）“天宫一号”的运行周期T为$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．