如图所示.倾角θ=30°的足够长平行导轨MN.M′N′与水平放置的平行导轨NP.N′P′平滑连接.导轨间距均为L.MM′间接有阻值为R的电阻.轨道光滑且电阻不计．倾斜导轨MN.M′N′之间有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场.水平部分的ee′ff′之间有竖直向上.磁感应强度为B2的匀强磁场.磁场宽度为d．质量为m.电阻为r.长度略大于L的导体棒ab从靠近轨道上端的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图所示，倾角θ=30°的足够长平行导轨MN、M′N′与水平放置的平行导轨NP、N′P′平滑连接，导轨间距均为L，MM′间接有阻值为R的电阻，轨道光滑且电阻不计．倾斜导轨MN、M′N′之间（区域Ⅰ）有方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，水平部分的ee′ff′之间（区域Ⅱ）有竖直向上、磁感应强度为B₂的匀强磁场，磁场宽度为d．质量为m、电阻为r、长度略大于L的导体棒ab从靠近轨道上端的某位置由静止开始下滑，棒始终与导轨垂直并接触良好，经过ee′和ff′位置时的速率分别为v和$\frac{v}{4}$．已知导体棒ab进入区域Ⅱ运动时，其速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．

（1）求区域Ⅰ匀强磁场的磁感应强度B₁；
（2）求导体棒ab通过区域Ⅱ过程中电阻R产生的焦耳热；
（3）改变B₁使导体棒ab不能穿过区域Ⅱ，设导体棒ab从经过ee′到停止通过电阻R的电量为q，求B₁的取值范围，及q与B₁的关系式．

分析（1）由于导轨足够长，则ab棒到达导轨底端NN′前已经做匀速运动，根据平衡条件和安培力公式求解B₁．
（2）设ab棒和电阻R产生的电热分别为Q_r和Q_R，则有$\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{r}}$=$\frac{R}{r}$，再由能量守恒守恒定律求解．
（3）设棒以速度v_x通过ee′时，在区域Ⅱ中滑动x后停下，据题，△v∝△x，可得 v_x=$\frac{v-\frac{v}{4}}{a}$x=$\frac{3x}{4d}$v．根据棒匀速运动时受力平衡，列式得到B₁与x的关系式，使导体棒ab不能穿过区域Ⅱ，应满足x＜d，得到对应B₁的取值范围．再根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求解电量．

解答解：（1）由导轨足够长可知ab到达导轨底端NN′前已经做匀速运动，速率为v，设此时ab产生的电动势为E，电流为I，则有
E=B₁Lv             ①
I=$\frac{E}{R+r}$            ②
由平衡条件得 mgsinθ=B₁IL           ③
联立①②③解得 B₁=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$      ④
（2）设ab棒和电阻R产生的电热分别为Q_r和Q_R，则有
$\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{r}}$=$\frac{R}{r}$                          ⑤
由能量守恒守恒定律得 $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{v}{4}）^{2}$+Q_R+Q_r ⑥
联立⑤⑥解得 Q_R=$\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$             ⑦
（3）设棒以速度v_x通过ee′时，在区域Ⅱ中滑动x后停下，依题意有
v_x=$\frac{v-\frac{v}{4}}{a}$x=$\frac{3x}{4d}$v ⑧
设棒匀速运动时产生的电动势为E_x，电流为I_x，则有
mgsinθ=B₁I_xL     ⑨
E_x=B₁Lv_x ⑩
I_x=$\frac{{E}_{x}}{R+r}$
联立解得 B₁=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mgd（R+r）}{3vx}}$）
使导体棒ab不能穿过区域Ⅱ，应满足x＜d，对应B₁的取值范围是
B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$
设ab棒通过ee'后滑动距离x后停下，时间为△t，则此过程
棒产生的平均电动势 $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{{B}_{2}Lx}{△t}$
回路的平均电流  $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过电阻R的电量 q=$\overline{I}$△t
联立解得 q=$\frac{2{B}_{2}mgd}{3{B}_{1}^{2}Lv}$  （B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$）．
答：（1）区域Ⅰ匀强磁场的磁感应强度B₁是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$．
（2）导体棒ab通过区域Ⅱ过程中电阻R产生的焦耳热是$\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$．
（3）B₁的取值范围为B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$，q与B₁的关系式为q=$\frac{2{B}_{2}mgd}{3{B}_{1}^{2}Lv}$  （B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$）．

点评本题是信息题，一方面根据导体棒匀速运动，受力平衡列式分析，另一方面，抓住题中信息分析速度与位移的关系，这是本题的关键．

练习册系列答案

相关题目

4．

在边长为L、电阻为R的正方形导线框内，以对称轴ab为界，左、右两侧分别存在着方向如图甲所示的匀强磁场．以垂直纸面向外的磁场为正，两部分磁场的感应强度B随时间t的变化规律分别如图乙所示．则在0-t₀时间内，导线框中（　　）

	A．	无感应电流
	B．	感应电流逐渐变大
	C．	感应电流为顺时针方向，大小为$\frac{{{L^2}{B_0}}}{{{t_0}R}}$
	D．	感应电流为逆时针方向，大小为$\frac{{2{L^2}{B_0}}}{{{t_0}R}}$

5．

如图所示，水平传送带PQ间相距L₁=1.2m，传送带以v₀=2m/s的速度顺时针匀速运动，传送带处在与水平方向成α=37°斜向上的匀强电场中，电场强度E=1×10³V/m，倾角θ=30°斜面底端固定一轻弹簧，轻弹簧处于原长时上端位于C点，Q点与斜面平滑连接，Q到C点的距离L₂=1.4m．现有质量m=1kg，电量q=1×10^-2C的物体（可视为质点）无初速地轻放在传送带左端的P点，物体被传送到右端Q点后沿斜面向下滑动，将弹簧压缩到最短位置D点后恰能弹回C点．不计物体经过Q点时机械能的损失，整个过程中物体的电量保持不变，已知物体与传送带、斜面间的动摩擦因数分别为μ₁=0.5、μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）物体从P点运动到Q点的时间；
（2）物体压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．

2．汽车的质量为m=2.0×10³kg，发动机的额定输出功率为80kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍．若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为a=1.0m/s²．达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了800m，直到获得最大速度后才匀速行驶．试求：
（1）汽车的最大行驶速度；
（2）汽车匀加速这一过程能维持多长时间；
（3）当速度为10m/s时，汽车牵引力的瞬时功率；
（4）当汽车的速度为30m/s时汽车的牵引力．

9．M、N两颗质量相同的卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图所示，则（　　）

	A．	M与地球中心连线在相等的时间内转过的角度较大
	B．	M的机械能大于N的机械能
	C．	M、N的速度均大于第一宇宙速度
	D．	M在相同的时间内经过的路程较短

19．

如图所示，斜面体ABC放在水平桌面上，其倾角为37°，其质量为M=5kg．现将一质量为m=3kg的小物块放在斜面上，并给予其一定的初速度让其沿斜面向上或者向下滑动．已知斜面体ABC并没有发生运动，重力加速度为10m/s²，sin37°=0.6．则关于斜面体ABC受到地面的支持力N及摩擦力f的大小，下面给出的结果可能的有（　　）

	A．	简谐运动的周期与振幅无关
	B．	在弹簧振子做简谐运动的回复力表达式F=-kx中，F为振动物体受到的合外力，k为弹簧的劲度系数
	C．	在波传播方向上，某个质点的振动速度就是波的传播速度
	D．	在双缝干涉实验中，同种条件下用紫光做实验比红光做实验得到的条纹更宽

3．朝南的钢窗原来关着，某人将它突然朝外推开，顺时针转过一个小于90°的角度，考虑到地球磁场的影响，则在钢窗转动的过程中，钢窗活动的竖直边中（　　）

	A．	有自上而下的微弱电流
	B．	有自下而上的微弱电流
	C．	有微弱电流，方向是先自上而下，后自下而上
	D．	有微弱电流，方向是先自下而上，后自上而下

4．电磁波已广泛应用于很多领域．光波也是一种电磁波，下列说法正确的是（　　）

	A．	手机发射和接收信号都是利用微波传送的
	B．	手机上网和WiFi上网都是利用光线传输信息的
	C．	常用的遥控器通过发射紫外线脉冲信号来遥控电视机
	D．	微波、红外线、紫外线、伦琴射线的频率依次减小

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