Question

（2011?安徽一模）如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接．在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一质量为m，电量为+q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方，如图．小球可视为质点，小球运动到C点之前电量保持不变，经过C点后电量立即变为零）．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g．在上述运动过程中，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）小球在圆轨道上运动时最大速率；
（3）小球对圆轨道的最大压力的大小．

Answer 1

分析：（1）对小球从A到C过程运用动能定理列式；小球从C平抛运动到P过程，对水平和竖直分运动分别根据位移公式列式；
（2）小球在圆弧右下段某个位置速度最大，根据动能定理求出速度的一般表达式，然后根据数学知识求最大值；
（3）当速度最大时，小球对轨道的压力最大，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解．

解答：解：（1）设电场强度为E，
小球过C点时速度大小为v_c，
小球从A到C由动能定理：
qE?3R-mg?2R=

1

2

mvc2
小球离开C点后做平抛运动到P点：
R=

1

2

gt2
2R=v_ct
联立方程解得：
E=

mg

q

即电场强度E的大小为

mg

q

．
（2）设小球运动到圆周D点时速度最大为v，
此时OD与竖直线OB夹角设为α，
小球从A运动到D过程，
根据动能定理：
qE(2R+Rsinα)-mgR(1-cosα)=

1

2

mv2
即：

1

2

mv2=mgR(sinα+cosα+1)
根据数学知识可得，
当α=45⁰时动能最大   
由此可得：vm=

(2+2 2 )gR

即小球在圆轨道上运动时最大速率为

(2+2 2 )gR

．
（3）由于小球在D点时速度最大且电场力与重力的合力恰好沿半径方向，
故小球在D点对圆轨道的压力最大，
设此压力大小为F，
由牛顿第三定律可知小球在D点受到的轨道弹力大小也为F，在D点对小球进行受力分析，并建立如图所示坐标系

由牛顿第二定律：
F-qEsinα-mgcosα=m

v 2 m

R

解得：F=(2+3

2

)mg
即小球对圆轨道的最大压力的大小(2+3

2

)mg．

点评：本题关键灵活地选择过程并运用动能定律列式，同时根据向心力公式和平抛运动的位移公式列式进一步分析求解．