Question

18．山区的高速公路，穿山跨谷、隧桥相连是很常见的．某轿车在以100km/h的速度匀速行驶的过程中，车载导航提示“前方1公里进入隧道”，此时司机发现，正前方400m处有一辆大型货车正以72km/h的速度匀速向前行驶，轿车司机欲在进入隧道前超过货车，并且不违反此路段轿车限速120km/h（其中隧道80km/h）的规定．已知该轿车车速从零加速到100km/h的最短时间为9.9s，轿车加速与减速时的最大加速度大小视为相同，不计两车的大小．
（1）求轿车的最大加速度．
（2）轿车先保持100km/h的速度匀速行驶一段时间，再减速到80km/h进入隧道，能在进入隧道前超过货车吗？
（3）轿车在不违反此路段“轿车限速120km/h，其中隧道80km/h”规定的前提下，能在进入隧道前超过货车吗？

Answer 1

分析 （1）已知该轿车车速从零加速到100km/h的最短时间为9.9s，可以用$a=\frac{△v}{△t}$求出
（2）当货车进入隧道口时，假设轿车匀速运动，是否追上．
（3）对轿车的运动分段三段加速、匀速、减速求出每段时间，用总时间与货车的运动时间比较．

解答 解：（1）$a=\frac{△v}{△t}=\frac{\frac{100}{3.6}}{9.9}=\frac{25}{9}m/{s}^{2}$=2.8m/s²
（2）货车前进600m的时间$t=\frac{{x}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{600}{20}=30s$
若在这30s内，轿车一直以100km/h匀速行驶，则位移x=vt=27.8×30=834m＜1000m，
所以轿车不能在进入隧道前超过货车．
（3）轿车先加速到120km/h，${t}_{1}=\frac{{v}_{m}-v}{a}=\frac{33.3-27.8}{2.8}=1.96s$
${x}_{1}=\frac{{v}_{m}^{2}-{v}^{2}}{2a}=\frac{33．{3}^{2}-27．{8}^{2}}{2×2.8}=60m$
轿车最后减速到80km/h，${t}_{3}=\frac{{v}_{t}-{v}_{m}}{a}=\frac{22.2-33.3}{-2.8}=3.96s$
${x}_{3}=\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{t}^{2}}{2a}=\frac{33．{3}^{2}-22．{2}^{2}}{2×2.8}=110m$
轿车途中匀速的时间${t}_{2}=\frac{x-{x}_{1}-{x}_{3}}{{v}_{m}}=\frac{1000-60-110}{33.3}=24.92s$
t=t₁+t₂+t₃=1.92+24.92+3.96=30.84s＞30s
货车先到隧道口，所以轿车不能在进入隧道前超过货车
答：（1）轿车的最大加速度为2.8m/s²．
（2）轿车先保持100km/h的速度匀速行驶一段时间，再减速到80km/h进入隧道，不能在进入隧道前超过货车；
（3）轿车在不违反此路段“轿车限速120km/h，其中隧道80km/h”规定的前提下，不能在进入隧道前超过货车．

点评 考查匀变速直线运动的基本公式，对于复杂的运动，按照运动进行分段求解，注意运动之间的联系即时间、速度、位移的联系