Question

涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它的基本原理如图甲所示．水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用．涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式．某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程．车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为L₁=0.6m，宽L₂=0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B₁=2T，将铝板简化为长大于L₁，宽也为L₂的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L₂，每个线圈的电阻为R₁=0.1Ω，导线粗细忽略不计．在某次实验中，模型车速度为v₀=20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a₁=2m/s²做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B₁时就保持不变，直到模型车停止运动．已知模型车的总质量为m₁=36kg，空气阻力不计．不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响．

（1）电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为多大？
（2）模型车的制动距离为多大？
（3）为了节约能源，将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，如图丙所示，已知模型车质量减为m₂=20kg，永磁铁激发的磁感应强度恒为B₂=0.1T，每个线圈匝数为N=10，电阻为R₂=1Ω，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘．模型车仍以v₀=20m/s的初速度开始减速，为保证制动距离不大于80m，至少安装几个永磁铁？

Answer 1

分析：当磁场在固定的线圈上方运动时，线圈中产生感应电流，出现的感应磁场阻碍磁场的运动．当磁场达到最强时，且处于恒定，则由运动学公式求出加速度，再由牛顿第二定律可得出安培力，从而求出线圈产生的感应电动势，最后确定线圈运动的速度；在制动过程中，线圈的加速度不是恒定，则可用动能定理求出制动距离．

解答：解：（1）假设电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v₁则E₁=B₁L₁v₁①
     I1=

E1

R1

②
     F₁=B₁I₁L₁③
     F₁=m₁a₁④
由①②③④式并代入数据得v₁=5m/s⑤
（2）x1=

v 2 0 - v 2 1

2a1

⑥
由第（1）问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度v时，安培力的大小为F=

B 2 1 L 2 1 v

R1

⑦
对速度v₁后模型车的减速过程用动量定理得

.

F

?t=m1v1⑧

.

v

?t=x2⑨
x=x₁+x₂⑩
由⑥⑦⑧⑨⑩并代入数据得x=106.25m（11）
（3）假设需要n个永磁铁
当模型车的速度为v时，每个线圈中产生的感应电动势为E₂=2NB₂L₁v（12）
每个线圈中的感应电流为I2=

E2

R2

每个磁铁受到的阻力为F₂=2NB₂I₂L₁（13）
n个磁铁受到的阻力为F_合=2nNB₂I₂L₁（14）
由第（2）问同理可得n

4N2 B 2 2 L 2 1

R2

x=m2v0（15）
由（11）（15）并代入已知得n=3.47
即至少需要4个永磁铁．

点评：本题物理情境很新，但仍是常规物理模型，类似于磁场不动线圈在动的题型．在模型车的减速过程中，加速度不恒定，则用动能定理来解决．