Question

在某星球表面附近，一根长为L的不可伸长的细绳，一端固定，另一端固定一质量为m的小球．小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线与竖直方向的夹角为θ，周期为T．仅考虑物体受该星球的引力作用，忽略其他力的影响，已知该星球的半径为R，若发射一颗在距该星球表面距离为R处绕该星球做匀速圆周运动的卫星．求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）这颗卫星的运行周期T₁．

Answer 1

分析：由题，小球在水平面做匀速圆周运动，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解重力加速度．
卫星绕该星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求解卫星的运行周期．

解答：解：（1）由图可知，小球圆周运动的半径：r=Lcosθ
T=2π

r g

g=

4π2Lcosθ

T2

（2）卫星绕该星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：

GMm

(R+h)2

=

m?4π2(R+h)

T 2 1

，h=R

T₁=T

8R Lcosθ

答：（1）该星球表面的重力加速度是

4π2Lcosθ

T2

；
（2）这颗卫星的运行周期是T

8R Lcosθ

．

点评：本题是圆锥摆问题，关键是分析小球的受力情况，确定向心力的来源．注意小球圆周运动的半径与摆长不同．
重力加速度g是联系天体运动和星球表面物体的运动的桥梁．