Question

资料：理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的

2

倍，即v′=

2GM R

，由此可知，天体的质量M越大，半径R越小，逃逸速度也就越大，也就是说，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚，有些恒星，在它一生的最后阶段，强大的引力把其中的物质紧紧的压在一起，密度极大，每立方米的质量可达数千吨，它们的质量非常大，半径又非常小，其逃逸速度非常大．于是，我们自然要想，会不会有这样的天体，它的质量更大，半径更小，逃逸速度更大，以3.00×10⁸m/s的速度传播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在这样的天体，即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们根本看不到它，这种天体称为黑洞．1970年，科学家发现了第一个很可能是黑洞的目标．已知，G=6.67×10-11N?m/kg 2，C=3.00×10⁸m/s，求：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半径（此小题结果用科学计数法表示，小数点后保留2位，不得使用计算器）
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为ρ，如果认为我们宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度C，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（球的体积计算方程V=

4

3

πR3，此小题结果用题中所给字母表示）

Answer 1

分析：（1）任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据c≤

2GM R

即可求解；
（2）根据质量与密度的关系先求出质量，根据（1）的分析即可求解．

解答：解：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂=

2GM R

，
其中M、R为天体的质量和半径．
对于黑洞模型来说，其逃逸速度等于真空中的光速，
即v₂=c，
所以?R=

2GM

c2

=

2×6.67×10-11×1.98×1030

(3×108)2

m=2.93×10³ m．
故最大半径为2.93×10³ m．
（2）M=ρ?

4

3

πR³，其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，
则宇宙所对应的逃逸速度为v₂=

2GM R

，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂=c，
则R=

3c2 8Gπρ

答：（1）它的可能最大半径为2.93×10³m．
（2）宇宙的半径至少应为

3c2 8Gπρ

．

点评：本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．