Question

4．如图所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A到B长度为16m，传送带以10m/s的速度转动．在传送带上端A处由静止轻放上一个质量为0.5kg的小物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5．则当皮带轮处于下列两种情况时，求物体从A运动到B所用时间．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s²）
（1）轮子沿顺时针方向转动；
（2）轮子沿逆时针方向转动．

Answer 1

分析 （1）轮子沿顺时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合运动学公式求出速度达到传送带速度时的时间和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑动摩擦力，速度相等后，滑动摩擦力沿斜面向上，结合位移时间公式求出剩余段匀加速运动的时间，从而得出物体从A运动到B的时间
（2）物体刚放上传送带，摩擦力的方向沿传送带向下，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合运动学公式求出速度达到传送带速度时的时间和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑动摩擦力，速度相等后，滑动摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，结合位移时间公式求出剩余段匀加速运动的时间，从而得出物体从A运动到B的时间

解答 解：（1）轮子沿顺时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向上，物体的受力情况如图所示．

物体由静止加速，由牛顿第二定律可得
mgsin θ-μmgcos θ=ma₁
解得：a₁=2 m/s²，由于mgsinθ＞μmgcosθ，物体受滑动摩擦力一直向上，
则物体从A端运动到B端的时间t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=4 s．
（2）轮子沿逆时针方向转动时，传送带作用于小物体的摩擦力沿传送带向下，物体的受力情况如图所示．

物体由静止加速，由牛顿第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma₂
解得：a₂=10 m/s²
物体加速到与传送带速度相同需要的时间为
t₁=$\frac{v}{a2}$=$\frac{10}{10}$ s=1 s
物体加速到与传送带速度相同时发生的位移为
s=$\frac{1}{2}$a₂t${\;}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×10×1² m=5 m
由于μ＜tan θ（μ=0.5，tan θ=0.75），物体在重力作用下将继续加速运动，物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体的摩擦力沿传送带向上，物体加速度为
a₃=2 m/s²
设后一阶段物体滑至底端所用时间为t₂，由运动学公式有
L-s=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t${\;}_{2}^{2}$
解得t₂=1 s
可知物体从A运动到B所用时间t′=t₁+t₂=2 s．
答：（1）轮子沿顺时针方向转动用时4 s；
（2）轮子沿逆时针方向转动用时2s

点评 解决本题的关键知道物体在传送带上的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律综合求解，特别注意当物体速度达到与带同速时的摩擦力方向判断．