Question

如图所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限区域内，分别存在场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，电场Ⅰ的方向沿X轴正方向，电场Ⅱ的方向沿Y轴的正方向．在第三象限内存在着垂直于Oxy平面的匀强磁场Ⅲ，Q点的坐标为（-x₀，0）．已知电子的电量为-e，质量为m（不计电子所受熏力）．
（1）在第一象限内适当位置由静止释放电子，电子经匀强电场Ⅰ和Ⅱ后恰能透过Q点．求释放点的位置坐标x、y应满足的关系式；
（2）若要电子经匀强电场Ⅰ和Ⅱ后过Q点时动能最小，电子应从第一象限内的哪点由静止释放？求该点的位置和过Q点时的最小动能．
（3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y轴时离坐标原点的距离为x₀，求第三象限内的匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向．

Answer 1

分析：分析电子在电场中的受力情况，由动能定理和运动学公式，由几何关系可求解；
用假设法先判断匀强磁场的方向，并结合受力情况画出电子的运动轨迹，由动能定理和牛顿第二定律，利用几何关系可求得B的大小．

解答：解：（1）设电子从第一象限内坐标为（x，y）处由静止释放能过Q点，到达y轴时的速度为v₀
由动能定理得：eEx=

1

2

m

v

2 0

    ①
若能到达Q点，则应满足：y=

1

2

at2 ②
x₀=v₀t  ③
a=

eE

m

  ④
联立①②③④得：xy=

x02

4

  ⑤
（2）由动能定理得：电子从P点由静止释放，经匀强电场I和Ⅱ后过Q点时动能：E_x=eE（x+y）  ⑥
而

x+y

2

≥

xy

（当x=y时取“=”）    ⑦
由⑤⑥⑦得：Ek≥2eE

xy

=eEx0（当x=y=

x0

2

时取“=”） ⑧
所以电子从第一象限内的P(

x0

2

，

x0

2

)点由静止释放过Q点时动能最小，过Q点时的最小动能是eEx₀
（3）若匀强磁场Ⅲ方向垂直纸面向里，则电子左偏，不会再到达y轴，所以匀强磁场方向垂直纸面向外．运动轨迹如图，则

tanθ=

vx

vy

而vy=

2 eE m y

，vx=

2 eE m x

在满足条件（2）的情况下tanθ=

vx

vy

=1
所以θ=45°⑨
设在匀强磁场Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，到达y轴上的A点，结合题中条件可推知，电子在磁场中运动的轨迹应为以QA为直径的半圆，OA=x₀，由几何知识知：r≡

2

2

x0   ⑩
设到达Q点的速度为v₁，则 eEx0=

1

2

mv12  （11）
解得：v1=

2eEx0 m

 （12）
根据牛顿第二定律得：ev1B=m

v12

r

解得：B=

mv1

er

  （13）
把v₁和r的值代入，第三象限内的匀强磁场的磁感应强度 B=2

mE ex0

  （14）
答：（1）释放点的位置坐标x、y应满足的关系式xy=

x02

4

；
（2）若要电子经匀强电场Ⅰ和Ⅱ后过Q点时动能最小，电子从第一象限内的P(

x0

2

，

x0

2

)点由静止释放过Q点时动能最小，过Q点时的最小动能是eEx₀
（3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y轴时离坐标原点的距离为x₀，第三象限内的匀强磁场的磁感应强度B=

mv1

er

，匀强磁场方向垂直纸面向外．

点评：本题主要考查了带点粒子在混合场中运动的问题，要求能够正确分析电子的受力情况，再通过受力情况分析其运动情况，熟练掌握平抛运动和圆周运动的基本公式，用几何关系解题，难度较大．