Question

18．如图所示有一块长为1m的薄木板静止水平地面上，薄木板质量为4㎏，其与地面间的动摩擦因数μ₀为0.5，薄木板右端放一质量1kg为小滑块，大小可忽略不计，小滑块与薄木板之间的动摩擦因数为μ₁为0.4，小滑块与地面之间的动摩擦因数为μ₂为0.2．
（1）现用水平方向的恒力F拉木板M，为使m能从M上滑落，F需满足的条件；
（2）在其它条件不变，若恒力F=53N，且始终作用在M上，小滑块运动的时间多长；（忽略不计小滑块从薄木板上滑落的时间及速度变化）
（3）在满足（2）的条件中，小滑块静止时距薄木板的左侧距离多大．

Answer 1

分析 （1）小滑块在木板上滑动时，根据牛顿第二定律，求出滑块和木板的加速度，当木板的加速度大于滑块的加速度时，m就会从M上滑落下来．
（2）恒力F=53N，m在M上发生相对滑动，设m在M上面滑动的时间为t，求出木块在t内的位移，两者位移之差等于木板的长度L；
（3）小滑块滑落后，由牛顿第二定律结合受力分析求出二者的加速度，然后求出滑块停止运动的时间，最后由位移公式即可求出．

解答 解：（1）以M、m组成的系统为研究对象．当二者能一起加速运动时满足：F-μ₀（M+m）g=（M+m）a
以m为研究对象，其加速度达到最大值时满足：μ₁mg=ma₁
当a＞a₁时，M、m可以发生相对运动，即：F＞（μ₀+μ₁）（M+m）g
代入数据得：F＞45N
（2）以m在M上发生相对运动为研究过程，根据牛顿第二定律
对m有：μ₁mg=ma₁
可得：${a_1}={μ_1}g=4m/{s^2}$
对M有：F-μ₀（M+m）g-μ₁mg=Ma₂
可得${a_2}=\frac{{F-{μ_0}（M+m）g-{μ_1}mg}}{M}=6m/{s^2}$
由题意可得M、m的运动关系满足：L=x₂-x₁
根据${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$，可得m对地位移；${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$可得M对地位移
所以$t=\sqrt{\frac{2L}{{a}_{2}-{a}_{1}}}$
代入数据得：t=1s
此时，m落地时的速度为v₁满足：v₁=a₁t=4×1=4m/s
M此时的速度v₂满足：v₂=a₂t=6×1=6m/s
以m在地面上滑行为研究过程，由牛顿第二定律μ₂mg=ma'₁
可得：a'₁=μ₂g=0.2×10=2m/s²
由v₁=a'₁t'
可得，m的滑行时间t'=2s
所以小滑块运动的时间t_总=t+t'=1+2=3s
（3）以M、m分别在地面上运动为研究过程，
根据$2{a'_1}{x'_1}=v_1^2$
可得在地面上滑行距离$x{′}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a′}_{1}}=\frac{{4}^{2}}{2×2}=4m$
对M根据牛顿第二定律：F-μ₀Mg=Ma'₂可得：$a{′}_{2}=\frac{F-{μ}_{0}Mg}{M}$
根据${x'_2}={v_2}t'+\frac{1}{2}{a'_2}{t'^2}$
代入数据可得：x'₂=28.5m
由题意可知，所求间距△x满足：△x=x'₂-x'₁=18.5-4=24.5m
答：（1）现用水平方向的恒力F拉木板M，为使m能从M上滑落，F需满足的条件是F＞45N；
（2）在其它条件不变，若恒力F=53N，且始终作用在M上，小滑块运动的时间长3s；
（3）在满足（2）的条件中，小滑块静止时距薄木板的左侧距离多大．

点评 解决本题的关键知道滑块在薄木板上发生相对滑动时，薄木板的加速度大于滑块的加速度．以及知道滑块在薄木板上滑下时，两者的位移之差等于滑板的长度．