题目内容

14．用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．
（1）计算该双星系统的运动周期T计算．
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：$\sqrt{N}$（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

分析 （1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．

解答 解：
（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得$m\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mm}{{L}^{2}}$      ①
解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{2L}}$      ②
则周期为：
T计算=$\frac{2π•\frac{L}{2}}{v}$=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$     ③
（2）根据观测结果，星体的运动周期：
${T}_{观测}=\frac{1}{\sqrt{N}}{T}_{计算}＜{T}_{计算}$     ④
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观测，则有$m\frac{{v}_{观测}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mM}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{（\frac{L}{2}）^{2}}$     ⑤
解得：
${v}_{观测}=\sqrt{\frac{G（m+4m′）}{2L}}$     ⑥
因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得 $\frac{1}{{v}_{观测}}=\frac{1}{\sqrt{N}}$      ⑦
把②⑥式代入⑦式得：
$m′=\frac{N-1}{4}m$
设所求暗物质的密度为ρ，则：$\frac{4}{3}π（\frac{L}{3}）^{3}ρ=\frac{N-1}{4}m$
解得：
ρ=$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$
答：
（1）该双星系统的运动周期T计算=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）该星系间这种暗物质的密度为$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$．

点评 本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究，关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心，较难．

练习册系列答案
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4．“嫦娥三号”于2013年12月2日凌晨在四川省西昌卫星发射中心发射升空，先后经过近月制动、环月圆轨道飞行（轨道高度距月表100km）、变轨控制进入环月椭圆轨道运行等动作，在着陆准备阶段“嫦娥三号”从距月表15km的近月点（着陆制动点）开始在7500N的变推力空间发动机的作用下开始减速，在距月表100m时悬停，借“眼睛”观测着陆区状况，由于月球表面没有空气，所以不能使用降落伞实现“嫦娥三号”的软着陆，而用空间发动机向下喷气实现软着陆又会吹起月球表的尘埃而影响“嫦娥三号”着陆后的工作，为此要在“嫦娥三号”落至距月表4m高时再次使其速度减为零，并关闭所有发动机，使“嫦娥三号”直接落向月表．
     已知月球半径是地球半径的$\frac{3}{11}$，质量是地球质量的$\frac{1}{81}$，地球表面的重力加速度为g=10m/s2，地球的半径R=6.4×106m，“嫦娥三号”的质量m=140kg．求：
（1）“嫦娥三号”在环月圆轨道上运动的速度大小；（保留2位有效数字）
（2）“嫦娥三号”软着陆时到达月表的速度的大小；（保留2位有效数字）
（3）从悬停在100m处至落到月球表面的过程中，空间发动机对“嫦娥三号”所做的功．
5．如图所示，一个质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则（　　）
A．滑块可能受到三个力作用态B．弹簧一定处于压缩状
C．斜面对滑块的支持力不能为零D．斜面对滑块的摩擦力的大小等于mg
2．下面说法中正确的是（　　）
A．根据牛顿的万有引力定律可以知道，当星球质量不变，半径变为原来的$\frac{1}{2}$时，引力将变为原来的4倍
B．按照广义相对论可以知道，当星球质量不变，半径变为原来的$\frac{1}{2}$时，引力将大于原来的4倍
C．在天体的实际半径远大于引力半径时，根据爱因斯坦的引力理论和牛顿的引力理论计算出的力差异很大
D．在天体的实际半径接近引力半径时，根据爱因斯坦的引力理论和牛顿的引力理论计算出的力差异不大
9．如图甲，手提电脑散热底座一般设置有四个卡位用来调节角度．某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位4缓慢地调至卡位1来增大倾角（如图乙），电脑始终静止在底座上，则（　　）
A．电脑受到重力、支持力、摩擦力和下滑力
B．电脑受到的摩擦力变小
C．散热底座对电脑的作用力变大
D．散热底座对电脑的作用力方向竖直向上
19．有一根长陶瓷管，其表面均匀地镀有一层很薄的电阻膜，管的两端有导电箍M 和N，如图（甲）所示．用多用表电阻档测得MN间的电阻膜的电阻约为1kΩ，陶瓷管的直径远大于电阻膜的厚度．某同学利用下列器材设计了一个测量该电阻膜厚度d的实验． 
A．米尺（最小分度为mm）；
B 游标卡尺（游标为20分度）；
C．电流表Al（量程0～5mA，内阻约10Ω）；
D．电流表A2（量程0～100mA，内阻约0.6）；
E．电压表V1（量程5V，内阻约5kΩ）；
F．电压表V2（量程15V，内阻约15kΩ）；
G．滑动变阻器 R1（阻值范围 0～10Ω，额定电流1.5A）；
H．滑动变阻器R2（阻值范围0～1.5kΩ，额定电流1A ）；
I．电源E（电动势6V，内阻可不计）；
J．开关一个，导线若干．
①他用毫米刻度尺测出电阻膜的长度为L=10.00cm，用20分度游标卡尺测量该陶瓷管的外径，其示数如图（乙）所示，该陶瓷管的外径 D=0.820cm．

②为了比较准确地测量电阻膜的电阻，且调节方便，实验中应选用电流表C，电压表E，滑动变阻器G．（填写器材前面的字母代号）
③在方框内画出测量电阻膜的电阻R的实验电路图．
④若电压表的读数为U，电流表的读数为I，镀膜材料的电阻率为ρ，计算电阻膜厚度d的数学表达式为：d=$\frac{ρlI}{πDU}$（用所测得的量和已知量的符号表示）
6．一物体在水平面上受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45J，在第1秒末撤去拉力，其v-t 图象如图所示，g=10m/s2，则（　　）
A．物体的质量为10 kg
B．物体与水平面的动摩擦因数为0.2
C．第1秒内摩擦力对物体做的功为-60 J
D．前4秒内合力对物体做的功为60 J
3．2008年9月25日晚21点10分，我国在九泉卫星发射中心将我国自行研制的“神州7号”宇宙飞船成功地送上太空，飞船绕地球飞行一圈时间为90分钟．则下列说法正确的是（　　）
A．“21点10分”和“90分钟”前者表示“时间”后者表示“时刻”
B．宇宙飞船在加速上升过程中航天员处于超重状态，在即将落地前用制动火箭使返回舱减速到某一安全值，在这段时间内飞船处于失重状态
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4．一质点自x轴原点O出发，沿正方向以加速度a运动，经过t0时间速度变为v0，接着以-a加速度运动，当速度变为$\frac{-{v}_{0}}{2}$时，加速度又变为a，直至速度变为$\frac{{v}_{0}}{4}$时，加速度再变为-a，直至速度变为$\frac{-{v}_{0}}{5}$…，其v-t 图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．质点一直向x轴正方向运动
B．质点运动过程中离原子的最大距离为$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2}$
C．质点最终可能静止在x＜0的某位置
D．质点最终静止时离开原点的距离一定小于v0t0

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