Question

如图所示，质量为M的木块悬于O点，被水平飞来的质量为m的子弹击中，若绳长为L，且已知子弹没有穿出，设子弹的初速度为v₀，试求：
（1）假设子弹与木块作用时间极短，求子弹打入木块后在最低点时，木块对悬线的拉力．
（2）如果子弹击中木块后一起做圆周运动的过程中，绳子始终不松弛，子弹的初速度满足什么样条件？

Answer 1

分析：（1）子弹在射击木球的过程中，子弹和木球在水平方向上动量守恒，机械能的损失量等于子弹的初动能减去子弹和木块的末动能；
（2）要使木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，木球运动有两种情况：一是木球运动速度较大时将做完整圆周运动，二是木球速度较小时做不完整圆周运动（即摆动）．根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速度，再根据机械能守恒定律求出子弹与木球在最低点的最小速度，最后通过动量守恒定律求出子弹做完整圆周运动的最小初速度．
由机械能守恒定律求得子弹做不完整圆周运动最大速度．

解答：解：（1）设子弹打入木块的瞬间，子弹和木块获得共同的速度v，对子弹打入木块的过程由动量守恒定律有：mv₀=（M+m）v
在最低点，由牛顿第二定律有：T-（M+m）g=（M+m）

v2

L

  
得：T=（M+m）g+

m2v02

(m+M)L

    
（2）要满足子弹与木块一起做圆周运动，绳子始终不松弛，可能出现两种情况，一种是它们在竖直平面内运动，不越过与O点等高的位置，假设它们恰好运动到与O点等高的位置，对这一个过程，由动能定理有：-（M+m）gL=0-

1

2

（m+M）v² 
由（1）知：v

mv0

M+m

     联立解得：v₀=

m+M

m

2gL

 
另一种情况是它们在竖直平面内做完整的圆周运动，恰好做圆周运动时，在最高点有（m+M）g=（M+m）

v2

L

 
从最低点运动到最高点的过程由动能定理有：
-（M+m）g?2L=

1

2

（M+m）v²-

1

2

（M+m）v²
联立解得：v₀=

m+M

m

5gL

 
综上所得，要使绳子不松弛则有：
v₀≤

m+M

m

2gL

或v₀≥

m+M

m

5gL

答：（1）子弹打入木块后在最低点时，木块对悬线的拉力（M+m）g+

m2v02

(m+M)L

．
（2）如果子弹击中木块后一起做圆周运动的过程中，绳子始终不松弛，子弹的初速度满足v₀≤

m+M

m

2gL

或v₀≥

m+M

m

5gL

．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清整个运动过程，分过程求解．