题目内容
如图所示，O为竖直平面内| 1 | 4 |
（1）滑块经B点时的速度大小；
（2）滑块经B点时对轨道的压力；
（3）在保证A点位置不变的情况下，改变圆弧轨道
的半径（总小于h），再让滑块从A点由静止滑下，A点到滑块落地点的水平距离最大是多少？此时圆弧轨道的半径是多大？
分析：（1）根据机械能守恒定律球场滑块经过B点时的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出滑块在B点所受的支持力的大小，从而求出滑块对轨道的压力大小．
（3）根据机械能守恒定律求出B点的速度，通过平抛运动的规律求出水平位移的表达式，从而得出A点到滑块落地点的水平距离的表达式，根据数学函数方法求解最值．
（2）根据牛顿第二定律求出滑块在B点所受的支持力的大小，从而求出滑块对轨道的压力大小．
（3）根据机械能守恒定律求出B点的速度，通过平抛运动的规律求出水平位移的表达式，从而得出A点到滑块落地点的水平距离的表达式，根据数学函数方法求解最值．
解答：解：（1）滑块从A到B的过程中，由机械能守恒得mgR=
m
解得 vB=
（2）滑块经B点时，由向心力公式有N-mg=m
解得 N=3mg
由牛顿第三定律知，滑块经B点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下．
（3）设轨道半径为r，滑块从B点开始做平抛运动，需时间t落地，则h-r=
gt2
平抛的水平距离 xBC=vBt
联立解得A、C两点的水平距离为 xAC=r+xBC=r+2
令r=hsin2θ，则AC两点的水平距离为xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(
+sin2θ)=
(1-cos2θ+2sin2θ)
令tanφ=
，则xAC=
[1+
sin(2θ-φ)]，
显然当θ=
+
时，xAC有最大值为xm=
h
此时 r=hsin2θ=h
=
h=
h
答：（1）滑块经B点时的速度大小为vB=
．
（2）滑块经B点时对轨道的压力为3mg．
（3）A点到滑块落地点的水平距离最大是xm=
h，此时圆弧轨道的半径是r=
h．
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
解得 vB=
| 2gR |
（2）滑块经B点时，由向心力公式有N-mg=m
| ||
| R |
解得 N=3mg
由牛顿第三定律知，滑块经B点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下．
（3）设轨道半径为r，滑块从B点开始做平抛运动，需时间t落地，则h-r=
| 1 |
| 2 |
平抛的水平距离 xBC=vBt
联立解得A、C两点的水平距离为 xAC=r+xBC=r+2
| r(h-r) |
令r=hsin2θ，则AC两点的水平距离为xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(
| 1-cos2θ |
| 2 |
| h |
| 2 |
令tanφ=
| 1 |
| 2 |
| h |
| 2 |
| 5 |
显然当θ=
| π |
| 4 |
| φ |
| 2 |
| ||
| 2 |
此时 r=hsin2θ=h
1-cos(
| ||
| 2 |
| 1+sinφ |
| 2 |
5+
| ||
| 10 |
答：（1）滑块经B点时的速度大小为vB=
| 2gR |
（2）滑块经B点时对轨道的压力为3mg．
（3）A点到滑块落地点的水平距离最大是xm=
| ||
| 2 |
5+
| ||
| 10 |
点评：本题考查了机械能守恒定律和牛顿第二定律，综合性较强，第三问对数学能力的要求较高．
练习册系列答案
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B．
D．
B．
D．