Question

2．用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，则该同步卫星绕地球运动的线速度v，角速度ω，周期T分别是多少？（用m、h、R、g表示）

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力，结合黄金代换可确定出线速度，角速度，周期的表达式．

解答 解：对于卫星：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    ①
               $G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）ω²    ②
             G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$    ③
由黄金代换：GM=gR²                       ④
由①④可得：v=R$\sqrt{\frac{g}{R+h}}$    由②④得：ω=R$\sqrt{\frac{g}{（R+h）^{3}}}$  由③④得：T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：同步卫星绕地球运动的线速度为R$\sqrt{\frac{g}{R+h}}$，角速度为R$\sqrt{\frac{g}{（R+h）^{3}}}$，周期为$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 本题就是对万有引力充当向心力的各个表达式的变形，其中黄金代换的引入非常重要，要熟练掌握．