Question

如图所示，x轴与水平传送带重合，坐标原点O在传送带的左端，传送带长L=8m，匀速运动的速度v₀=5m/s．一质量m=1kg的小物块轻轻放在传送带上x_P=2m的P点，小物块随传送带运动到Q点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点N点．小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）N点的纵坐标；
（2）从P点到Q点，小物块在传送带上运动系统产生的热量；
（3）若将小物块轻放在传送带上的某些位置，小物块均能沿光滑圆弧轨道运动（小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨）到达纵坐标y_M=0.25m的M点，求这些位置的横坐标范围．

Answer 1

分析：（1）求解出P到Q过程的加速度，根据运动学公式列式求解出Q点的速度；在N点，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式；最后联立方程得到圆弧轨道的半径；
（2）根据Q=f?△S求解热量．
（3）滑块在滑动摩擦力的作用下加速，加速距离不同，冲上圆弧轨道的初速度就不同；求出恰好到达圆心右侧M点、圆心右侧等高点、圆心左侧M点的临界加速距离．

解答：解：（1）小物块在传送带上匀加速运动的加速度a=μg=5m/s²
小物块与传送带共速时，所用的时间t=

v0

a

=1s
运动的位移△x=

v0

2a

=2.5m＜（L-x）=6m
故小物块与传送带达到相同速度后以v₀=5m/s的速度匀速运动到Q，然后冲上光滑圆弧轨道恰好到达N点，故有：mg=m

v 2 N

1 2 yN

由机械能守恒定律得

1

2

m

v

2 0

=mgyN+

1

2

m

v

2 N

解得y_N=1m
（2）小物块在传送带上相对传送带滑动的位移s=v₀t-△x=2.5m产生的热量Q=μmgs=12.5J；
（3）设在坐标为x₁处将小物块轻放在传送带上，若刚能到达圆心右侧的M点，由能量守恒得：
μmg（L-x₁）=mgy_M代入数据解得x₁=7.5 m
μmg（L-x₂）=mg（

1

2

y_N）   代入数据解得x₂=7 m
若刚能到达圆心左侧的M点，由（1）可知x₃=5.5 m
故小物块放在传送带上的位置坐标范围为：7m≤x≤7.5m和0≤x≤5.5m
答：（1）N点的纵坐标为1m；
（2）从P点到Q点，小物块在传送带上运动系统产生的热量为12，5J；
（3）将小物块轻放在传送带上的位置的横坐标范围为7m≤x≤7.5m和0≤x≤5.5m时，小物块均能沿光滑圆弧轨道运动（小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨）到达纵坐标y_M=0.25m的M点．

点评：本题关键是明确小滑块的运动情况，然后分段根据牛顿第二定律、动能定理、运动学公式列式分析求解．