Question

如图所示，平行光滑导轨MN、PQ相距L，电阻可忽略，其水平部分置于磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中，导体棒a和b质量均为m，a棒电阻为R，b棒电阻为2R，a、b相距足够远，b放在水平导轨上，a从斜轨上高h处自由滑下．求
（1）a棒刚进入磁场时的加速度大小；
（2）a棒从开始下落到作匀速运动的过程所产生的热量．

Answer 1

分析：（1）a从斜轨上高h处自由滑下，只有重力做功，由动能定理求出刚进入磁场时的速度大小．由法拉第电磁感应定律E=BLv和闭合电路欧姆定律I=

E

R+2R

结合求出回路中感应电流，由F=BIL求得a棒所受的安培力，再由牛顿第二定律求加速度；
（2）分析两棒以后的运动情况：a棒在磁场中滑动过程中，a所受安培力向左，做减速运动，b所受安培力向右，做加速运动．两棒产生的感应电动势方向相反，电路中电流减小，最后a、b棒以相等的速度做匀速运动．在此过程中，a、b棒所受安培力等大反向，系统合力为零，系统的动量守恒．根据动量守恒定律求出匀速运动时相等的速度，由能量守恒定律求解电路中产生的总热量，再由焦耳定律分析a棒产生的热量．

解答：解：（1）对a棒下滑过程，由动能定理：mgh=

1

2

mv2，得 v=

2gh

a棒刚进入磁场时，由法拉第电磁感应定律：E=BLv
由闭合电路欧姆定律：I=

E

R+2R

对a棒，由牛顿第二定律：BIL=ma
联立解得：a=

B2L2 2gh

3mR

（2）a棒在磁场中滑动过程中，a所受安培力向左，做减速运动，b所受安培力向右，做加速运动．两棒都产生感应电动势，而这两个感应电动势相反，电路中电流减小，最后a、b棒以相等的速度做匀速运动．在此过程中，a、b棒所受安培力等大反向，系统合力为零，系统的动量守恒，则有：
   mv=2mv₁
由能量守恒有：

1

2

mv2=

1

2

2m

v

2 1

+Q
总热量为a、b棒产生热量之和：Q=Q₁+Q₂
由焦耳定律：Q1=I2Rt，Q2=I22Rt
联立解得：Q1=

mgh

6

答：
（1）a棒刚进入磁场时的加速度大小是

B2L2 2gh

3mR

；
（2）a棒从开始下落到作匀速运动的过程所产生的热量是

mgh

6

．

点评：本题是双杆模型，解决本题的关键能够正确受力分析，结合牛顿定律和动量守恒、能量守恒，进行研究．