Question

16．地球同步卫星到地心的距离r可由r³=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}c}{4{π}^{2}}$求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s²，则以下说法中正确的是（　　）

• A． 地球同步卫星只能定点在赤道的正上方，质量不同的同步卫星轨道半径都相同
• B． 轨道半径都相同，以第一宇宙速度运行
• C． 上式中a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度
• D． 上式中a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面的重力加速度

Answer 1

分析 地球同步卫星只能定点在赤道的正上方，高度是一定的．根据万有引力充当向心力，列式分析．

解答 解：A、地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，只能定点在赤道的正上方，根据开普勒第三定律可知，同步卫星轨道半径是一定的，故A正确．
B、第一宇宙速度是卫星环绕地球圆周运动的最大速度，等于近地卫星，地球同步卫星小于第一宇宙速度，故B错误．
CD、卫星在万有引力作用下做匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，即引力提供向心力，有：
 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=mω²r=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
因为地球同步卫星到地心的距离r中包含4π²，所以此题用的公式应是G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
整理得到：r³=$\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}$ ①
在地面上，根据重力等于万有引力，有m′g=$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$，可得：GM=gR²（R是地球半径）
代入①得到：r³=$\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}$；
结合题目所给单位，a的单位是m，则a对应地球半径R，b的单位是s，则b对应同步卫星的周期T，也是地球自转周期T，c的单位米每二次方秒，则c对应地球表面的重力加速度g；故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 本题的关键要掌握地球同步卫星的条件和向心力的来源，运用万有引力等于向心力，及万有引力等于重力，由数学知识变形得到r³的表达式．