Question

（2009?深圳二模）如图所示，N匝矩形金属线圈的质量为m，电阻为R，放在倾角为θ的光滑斜面上，其ab边长度为L且与斜面底边平行．与ab平行的两水平虚线MN、PQ之间，在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=Kt，方向垂直斜面向上．在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t₁时刻ab边进入磁场，t=t₂时刻ab边穿出磁场．线圈ab边刚进入磁场瞬间电流为0，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0．（重力加速度为g）求：

（1）MN、PQ之间的距离d；
（2）从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量Q；
（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）ab边进入磁场前，线圈做匀加速运动，由牛顿第二定律可以求出线圈的加速度，由匀变速运动的速度公式求出ab边进入磁场时的速度；由法拉第电磁定律求出由于磁场变化而产生的感应电动势，由E=BLv求出ab切割磁感线而产生的感应电动势，由题意知，这两个电动势的和电动势是零，据此求出磁场的宽度d．
（2）由欧姆定律求出感应电流，由焦耳定律求出焦耳热．
（3）线圈穿出磁场时的加速度为零，合力为零，求出此时线圈受到的安培力，由平衡条件求出线圈穿出磁场时的速度，然后由动能定理求出安培力所做的功．

解答：解：（1）线圈进入磁场前做匀加速运动，
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，a=gsinθ，
当t=t₁时，线圈的速度：v₁=at₁=gsinθt₁…①
由法拉第电磁感应定律得，由于磁场变化产生的感应电动势：
E₁=N

△Φ

△t

=NS

△B

△t

=Ndl

Kt1-0

t1-0

=NKld，
ab边切割磁感线产生的感应电动势：
E₁′=NB₁lv₁=NKlgt₁²sinθ，
由题意可知瞬间电流为0，
则：E_合=E₁-E₁′=0
即：NKdl=NKlgt₁²sinθ，
∴磁场宽度：d=gt₁²sinθ；
（2）由（1）可知：E₁=NKld，感应电流：I=

E1

R

=

NKld

R

，
从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量Q：
 Q=I2Rt1=

N2k2L2g2sin2θ t 5 1

R

；
（3）当t=t₂时，由题意知：mgsinθ-NB₂I₂L=0，
设ab边穿出磁场瞬间的速度为v₂，
ε2=NB2Lv2，I2=

NB2Lv2

R

，
∴v2=

mgRsinθ

N2k2t2L2

，
由动能定理：

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

=mgdsinθ-W，
解得：W=

1

2

mg2sin2θ(3

t

2 1

-

m2R2

N4k4 t 4 2 L4

)；
答：（1）MN、PQ之间的距离为gt₁²sinθ；
（2）从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量为

N2K2L2g2(sinθ)2 t 5 1

R

；
（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功为

1

2

mg²sin²θ(3

t

2 1

-

m2R2

N4K4L4 t 4 2

)．

点评：分析清楚线圈的运动过程、对线圈正确受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、动能定律是正确解题的关键，本题计算量大，过程较复杂，是一道难题，解题是要细心、认真，否则会出错．