Question

3．某人造卫星在距离地面的高度为地球半径R_o的圆形轨道上运动，卫星轨道平面与赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g．
（1）求出卫星绕地球运动周期T；
（2）设地球自转周期T_o，该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，则卫星连续两次经过赤道上某固定目标正上方的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，以及在地面上万有引力等于重力列式，可求解T．
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，赤道上固定目标随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与固定目标转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在固定目标上空．

解答 解：对于卫星环绕地心的匀速圆周运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：$\frac{GMm}{{（2{R}_{0}）}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}•2{R}_{0}}{{T}^{2}}$，
对地面上的物体由“黄金代换”关系有：
$mg=G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}$
解得：$T=4π\sqrt{\frac{2{R}_{0}}{g}}$．
（2）由于卫星轨道半径2R_o小于地球同步卫星轨道（约等于地球半径的6.6倍），卫星的运动周期大于地球自转周期，卫星连续两次经过赤道上某固定目标正上方的时间里，地球赤道上某固定目标绕地心转过的圈数比卫星绕地心转过的圈数少一圈，
故有：$\frac{2π}{T}t-\frac{2π}{{T}_{0}}t=2π$ 即：$\frac{t}{T}-\frac{t}{{T}_{0}}=1$
解得：$t=\frac{4π{T}_{0}\sqrt{2{R}_{0}}}{{T}_{0}\sqrt{g}-4π\sqrt{2{R}_{0}}}$
答：（1）卫星绕地球运动周期T为$4π\sqrt{\frac{2{R}_{0}}{g}}$；
（2）卫星连续两次经过赤道上某固定目标正上方的时间是$\frac{4π{T}_{0}\sqrt{2{R}_{0}}}{{T}_{0}\sqrt{g}-4π\sqrt{2{R}_{0}}}$．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．要理解当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在固定目标上空．