Question

8．如图所示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980g的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20g的子弹以v₀=300m/s的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，且子弹打进木块的深度为d=6cm，已知木块的总长度为L=10cm（沿子弹运动方向），设木块对子弹的阻力保持不变．
（1）求子弹和木块的共同的速度以及它们在此过程中所增加的内能．
（2）若子弹是以v₀=400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的，则它能否射穿该木块？
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是多少？

Answer 1

分析 （1）以子弹和木块为系统，由动量守恒定律求解共同速度，根据能量守恒求解增加的内能．
（2）以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律列出等式，根据能量守恒和功能关系求出相对位移进行比较．
（3）由动量守恒定律和机械能守恒定律要联立得出方程，即可求得最终速度．

解答 解：（1）设子弹的初速度为v₀，射入木块的共同速度为v．以子弹和木块为系统，由动量守恒定律有mv₀=（M+m）v
解得$v=\frac{{m{v_0}}}{M+m}=\frac{0.02×300}{0.98+0.02}m/s=6.0m/s$
此过程系统所增加的内能$△E=△{E_k}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（M+m）{v^2}=\frac{1}{2}×0.02×{300^2}J-\frac{1}{2}×（0.98+0.02）×{6^2}J=882J$
（2）设以v₀′=400m/s的速度刚好能够射穿材质一样厚度为d′的另一个木块．则对以子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律有mv'₀=（M+m）v'$v'=\frac{{m{{v'}_0}}}{M+m}=\frac{0.02×400}{0.98+0.02}m/s=8.0m/s$
此过程系统所损耗的机械能$△E'=△{E'_k}=\frac{1}{2}mv'_0^2-\frac{1}{2}（M+m）{v'^2}=\frac{1}{2}×0.02×{400^2}J-\frac{1}{2}×（0.98+0.02）×{8^2}J=1568J$
由功能关系有△E=fs_相=fd，△E'=f's_相=fd'两式相比即有$\frac{△E}{△E'}=\frac{{f{s_相}}}{{f{{s'}_相}}}=\frac{fd}{fd'}=\frac{d}{d'}$
于是有$d'=\frac{△E'}{△E}d=\frac{1568}{882}×6cm=\frac{1568}{147}cm＞10cm$
因为d′＞10cm，所以能够穿透此木块．
（3）设射穿后，最终子弹和木块的速度分别为v₁和v₂，系统产生的内能为f
 L=$\frac{10}{6}$×fd=$\frac{5}{3}$×882=1470 J
由动量守恒定律mv₀=mv₁+Mv₂
由能量守恒定律fL=$\frac{1}{2}$×mV₀²-$\frac{1}{2}$×Mv₁²-$\frac{1}{2}$×mv₂²
代入数字化简得v₁+49v₂=400
v₁²+49v₂²=13000
消去v₁得v₂²-16 v₂+60=0
解得   v₁=106 m/s，v₂=6 m/s
答：（1）子弹和木块的共同的速度为6m/s；它们在此过程中所增加的内能为882J；
（2）若子弹是以v₀=400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的能够射穿该木块；
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是106m/s和6m/s．

点评 本题是子弹射木块问题的综合问题，考查了动量守恒定律、能量守恒定律、功能关系，难度较大．要注意正确分析物理过程，明确物理规律的正确应用．