题目内容

14．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑金属导轨，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻，将一根金属棒从导轨上的M处以速度v0竖直向上抛出，棒到达N处后返回，回到出发点M时棒的速度为抛出时的一半．已知棒的长度为L，质量为m，电阻为r．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为g．
（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，求电阻R消耗的电能；
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时，所具有的最大速度；
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子的碰撞．已知元电荷为e．求当金属棒向下运动达到稳定状态时，棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小．

分析 （1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，动能减少转化为电能，根据能量守恒定律求电阻R消耗的电能．
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时重力的功率等于回路的电功率．由此列式求解最大速度．
（3）根据电流的微观表达式I=neSv和金属棒生热功率公式Pr=（nSL）fv，结合进行解答．

解答 解：（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，由能量守恒得
回路中消耗的电能  Q=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
电阻R消耗的电能  QR=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时作匀速直线运动，设最大速度为v，则有  mgv=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
其中 E=BLv
解得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）方法一：
当金属棒向下运动达到稳定状态时，沿棒方向，棒中自由电子受到洛伦兹力evB、电场力eE场和金属离子对它的平均作用力f作用．因为棒中电流恒定，所以自由电子沿棒的运动可视为匀速运动．
则  f+eE场=evmB
又  E场=$\frac{U}{L}$，U=$\frac{BLv}{R+r}$•R
解得  f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$
方法二：当金属棒向下运动达到稳定状态时
单位时间内机械能减少  P=mgvm
金属棒生热功率  Pr=$\frac{r}{R+r}$P
回路中的电流  I=$\frac{BLv}{R+r}$
设棒的横截面积为S，棒中单位体积内的自由电子数为n，棒中自由电子定向移动的速度为v，金属离子对自由电子的平均作用力为f．
则  Pr=（nSL）fv，I=neSv．
所以 f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$
答：
（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，a．电阻R消耗的电能为$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时，所具有的最大速度为$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小为$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握金属棒稳定的条件，理解电流的微观表达式是联系宏观与微观的桥梁．

练习册系列答案
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B．物块在A点时受到轨道的支持力大小为mg+$\frac{3\sqrt{3}kQq}{8{h}^{2}}$
C．点电荷+Q产生的电场在B点的电场强度大小EB=$k\frac{Q}{h}$
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