Question

9．近年来，中国航天事业实现了快速发展，取得了一系列新成就，中国人乘宇宙飞船探索月球将不再是梦想，当登月舱在月球表面着陆后，科研人圆在距月球表面高h处，以速度v₀水平抛出一个小球，测得小球落地点与抛出点的水平距离为L，已知飞船绕贴近月球表面的圆形轨道运动一周所需的时间为T，试根据以上信息．求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求月球表面的重力加速度；
（2）根据飞船的在月球表面重力提供向心力求出月球的半径，由第一宇宙速度的计算公式$v=\sqrt{gR}$，将g、R代入即可求出第一宇宙速度；

解答 解：（1）由平抛运动的规律：
水平方向：$L={v}_{0}^{\;}t$…①
竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$…②
所以$g=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$…③
（2）飞船围绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$…④
得$R=\frac{g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}=\frac{{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}×\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{h{v}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$…⑤
月球的第一宇宙速度：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}×\frac{h{v}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}}=\frac{hT{v}_{0}^{2}}{π{L}_{\;}^{2}}$…⑥
答：（1）月球表面的重力加速度$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度$\frac{hT{v}_{0}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用．