Question

（2008?佛山二模）如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E₁的场强方向竖直向下，PT下方的电场E₀的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入匀强电场E₀中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E₁后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为

L

2

．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
试求：
（1）电场强度E₀与E₁；
（2）有一边长为a、由光滑绝缘壁围成的正方形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出（粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失），并返回Q点，在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；
（2）粒子进入磁场时做圆周运动，由题意可知其运动的临界半径值，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．

解答：解：（1）设粒子经PT直线上的点R由E₀电场进入E₁电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t₁与t₂，到达R时竖直速度为v_y，
则：由s=

1

2

at2
       v=at
及牛顿第二定律，F=qE=ma
得：L=

1

2

a1

t

2 1

=

1

2

qE0

m

t

2 1

①
而

L

2

=

1

2

a2

t

2 2

=

1

2

qE1

m

t

2 2

②
速度关系，vy=

qE0

m

t1=

qE1

m

t2③
v₀（t₁+t₂）=2L④
上述三式联立解得：E₁=2E₀，
E0=

9m v 2 0

8qL

即E1=

9m v 2 0

4qL

．
（3）欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图甲、乙所示的两种情况
甲S对图甲所示的情形，粒子运动的半径为R₁，
则R1=

a

2(2n+1)

，n=0、1、2、…
又qv0B1=

mv02

R1

解得：B1=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0、1、2、3…
S乙对图乙所示的情形，粒子运动的半径为R₂，则R2=

a

4k

，k=1、2、…
又qv0B2=

mv02

R2

  则有 B2=

4kmv0

qa

，k=1、2、3…
综合B₁、B₂得：B=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…
或R=

a

2N

，N=1、2、…
又qv0B2=

mv02

R2

解得，B2=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…
答：（1）电场强度E0=

9m v 2 0

8qL

，E1=

9m v 2 0

4qL

．；
（2）粒子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足的条件B2=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…

点评：带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径．