Question

13．如图所示，一个电荷量为e、质量为m的带电粒子，以初速度v₀从偏转电场的极板左端中央沿垂直电场方向射入匀强偏转电场，偏转后通过位于下极板的小孔S离开电场，进入范围足够大、上端和左端有理想边界、磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域的上端以偏转电场的下极板为边界，磁场的左边界MN与偏转电场的下极板垂直，且MN与小孔S左边缘相交于M点．已知带电粒子通过小孔S时的速度方向与下极板的夹角成θ=45°，整个装置处于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏转电场的边缘效应均可忽略不计．
（1）求偏转电场两极板间的电压U；
（2）带电粒子从磁场的左边界MN的S₁点飞出，求M点与S₁点间的距离L．

Answer 1

分析 （1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，根据题意求出粒子离开电场时的竖直分速度，然后应用动能定理可以求出偏转电场间的电压．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子做圆周运动的轨道半径，然后求出M点与S₁点间的距离．

解答 解：（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，由题意可知，带电粒子通过小孔S时的速度方向与下极板的夹角成θ=45°
粒子离开电场时竖直分速度：v_y=v₀tan45°=v₀，
粒子在偏转电场中运动过程中，由动能定理得：
e•$\frac{U}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_y²-0，
解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{e}$；
（2）粒子进入磁场时的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v₀，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{eB}$，
M点与S₁点间的距离：L=2rcos45°=$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$；
答：（1）偏转电场两极板间的电压U为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{e}$；
（2）带电粒子从磁场的左边界MN的S₁点飞出，M点与S₁点间的距离L为$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用运动的合成与分解知识，应用动能定理、牛顿第二定律即可解题，解题时注意几何知识的应用；对于粒子在匀强磁场中的圆周运动，关键找出圆周运动所需的向心力，列出等式解决问题，对于粒子垂直射入平行板电容器中的问题，要知道粒子做类平抛运动，能根据平抛运动基本公式求解，难度较大．