Question

有一竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成，如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的，现在轨道最低点A放一个质量m的小球，并给小球一个水平向右的初速度v₀，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，且又能沿BFA轨道回到A点，小球回到A点时轨道的压力为4mg．
在求小球由BFA回到A点的速度v_A时，甲同学的解法是：由于回到A点时对轨道的压力为4mg，故4mg=m

vA2

R

，得v_A=2

gR

在求小球在A点的初速度v₀时，乙同学的解法是：由于小球恰好到达B点，故小球在B点的速度为零，则有：

1

2

mv02=2mgR，得v₀=2

gR

试按以下要求作答：
（1）你认为甲、乙两同学的解法是否正确？若不正确，请给出正确解法．
（2）在小球由B点沿BFA轨道返回A点的过程中，求小球克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：甲同学的解法错误，在最低点，应该是径向的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．乙同学的解法也错误，小球在内轨道运动，最高点的临界情况是重力提供向心力，临界速度不是零．根据动能定理求出小球由B点沿BFA轨道返回A点的过程中小球克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）甲同学的解法不正确
正确解法：
由于小球回到A点时轨道压力为4mg，则有：
4mg-mg=m

vA2

R

 ①
得vA=

3gR

．
乙同学的解法不正确
正确解法：
小球恰好到达B点时的速度不为零，设速度为v_B，则有：
mg=m

vB2

R

②
由机械能守恒定律得：

1

2

mv02=

1

2

mvB2+mg?2R   ③
由②③式解得：v0=

5gR

．
（2）在小球由B点沿BFA轨道返回到A点的过程中，由动能定理得：
mg?2R-W摩=

1

2

mvA2-

1

2

mvB2   ④
代入有关物理量得：
W_摩=mgR
答：（1）甲乙同学的解法都错误．A点的速度为

3gR

，B点的速度为

gR

．
（2）小球克服摩擦力做的功为mgR．

点评：解决本题的关键理清小球做圆周运动向心力的来源，知道临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理综合求解．