Question

8．如图所示，质量为km的斜劈，其中k＞1，静止放在光滑的水平面上，斜劈的曲面光滑且为半径为R的四分之一圆面，圆面下端与光滑水平面相切．一质量为m的小球位于水平面上某位置，现给小球水平向右的初速度v₀．
①若R足够大，求当小球从斜劈滑下离开时小球的速度v₁；
②若小球向右滑上斜劈刚好没有越过圆面上端，求k的取值．

Answer 1

分析 ①系统动量守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律求出速度．
②由动量守恒定律求出速度，然后根据题意确定k的值．

解答 解：①设小球从斜劈滑下离开时，小球和斜劈的速度分别为v₁和v₂，
系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒可得：mv₀=-mv₁+kmv₂，
由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²，
联立解得，小球速度为：v₁=$\frac{1-k}{1+k}$v₀；
②小球向右滑上斜劈刚好没有越过圆面上端，
说明两者在圆面最上端具有相同的速度v₃，
系统在水平方向动量守恒，由动量守恒可得：mv₀=（m+km）v₃，
由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+km）v₃²+mgR，解得：k=$\frac{2gR}{{v}_{0}^{2}-2gR}$；
答：①若R足够大，求当小球从斜劈滑下离开时小球的速度v₁为$\frac{1-k}{1+k}$v₀；
②若小球向右滑上斜劈刚好没有越过圆面上端，k的取值为$\frac{2gR}{{v}_{0}^{2}-2gR}$．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．