Question

如图所示，从足够长的固定斜面的顶端A先、后两次水平抛出一小球，第一次抛出时的初速度为v₀，第二次抛出时的初速度为2v₀，小球落到斜面前瞬间，其速度大小分别v_B、v_C（注：v_B、v_c为未知）．已知斜面的倾角为θ，重力加速度为g．不计空气阻力．
（1）求小球从A到B的时间t₁
（2）求小球自第二次抛出到离斜面最远点所用的时间t₂
（3）试证明速度v_B、v_C的方向平行．

Answer 1

分析：（1）小球做的是平抛运动，根据水平和竖直方程的位移与斜面的夹角的关系，可以求得从A到B的时间t₁；
（2）当速度v方向与斜面平行时，小球离斜面最远，根据此时的速度方程可以求得时间t₂；
（3）第一次和第二次，小球都落在斜面上，根据平抛运动的水平速度和竖直速度，以及位移之间的关系，可以得出v_B、v_C的方向．

解答：解：（1）对位移AB分解，有
水平分位移x₁=v₀t        竖直分位移y₁=

1

2

gt²     
由图可知tanθ=

y1

x1

=

gt1

2v0

                  
解得  t₁=

2v0tanθ

g

                            
（2）当速度v方向与斜面平行时，小球离斜面最远，对此时速度v分解 有
水平分速度v_x=2v₀   竖直分速度 v_y=gt₂   
由右图知：tanθ=

vy

vx

      
解得  t₂=

2v0tanθ

g

        
（3）证明：设速度v_B、v_C与水平方向的夹角分别为α₁、α₂
对位移分解，由（1）问可知：tanθ=

y

x

=

gt

2v初

               
对速度分解，由（2）问可知：tanα=

vy

v初

=

gt

v初

             
由上两式得  tanα=2tanθ                             
所以 tanα₁=2tanθ=tanα₂，
即证得 速度v_B、v_C与的方向平行                      
答：（1）小球从A到B的时间t₁为

2v0tanθ

g

；
（2）小球自第二次抛出到离斜面最远点所用的时间t₂为

2v0tanθ

g

；
（3）证明过程如上．

点评：本题就是对平抛运动规律的考查，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．