Question

如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L，电阻忽略不计且足够长，导轨平面的倾角为α，斜面上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向与导轨平面垂直．另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d＜L）的正方形单匝线框连在一起组成一固定的装置，总质量为m，导体棒中通以大小恒为I的电流．将整个装置置于导轨上，线框下边与PQ重合．释放后装置沿斜面开始下滑，当导体棒运动到MN处恰好第一次开始返回，经过若干次往返后，最终整个装置在斜面上作恒定周期的往复运动．导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直．求：
（1）在装置第一次下滑的过程中，线框中产生的热量Q；
（2）画出整个装置在第一次下滑过程中的速度-时间（v-t）图象；
（3）装置最终在斜面上做往复运动的最大速率v_m；
（4）装置最终在斜面上做往复运动的周期T．

Answer 1

分析：（1）线框克服安培力做功等于整个回路产生的热量，根据动能定理求出导体棒从静止开始运动到MN处线框克服安培力做的功，从而求出线框产生的热量．
（2）在线框进入磁场和离开磁场的过程中，做变加速直线运动，线框离开磁场做匀加速直线运动，当导体棒进入磁场做匀减速直线运动到速度为零．
（3）线框最终做往复运动，最高点时上边位于MN处，因为导体棒向下进入磁场做匀减速直线运动，向上进入磁场做匀加速直线运动，知速度最大的位置导体棒位于PQ处．根据动能定理求出最大的速度．
（4）在做周期性运动的过程中，先向下做匀加速直线运动，然后向下做匀减速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出周期的大小．

解答：解：（1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，安培力对线框做功的大小为W，mgsinα?4d-W-BIL?d=0
解得W=4mgdsinα-BILd
线框中产生的热量Q=W=4mgdsinα-BILd    
（2）第一段，初速度为零、加速度减小的加速运动；第二段匀加速运动；第三段，匀减速运动至速度为零．
（3）装置往复运动的最高位置：线框的上边位于MN处；速度最大的位置：导体棒位于PQ处．
由mgsinα?d=

1

2

mv_m²解得v_m=

2gdsinα

 
（4）向下加速过程ma₁=mgsinα  t₁=

vm-0

a1

=

2gdsinα

gsinα

向下减速过程ma₂=BIL-mgsinα  t₂=

vm-0

a2

=

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

T=2（t₁+t₂）=2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．
答：（1）在装置第一次下滑的过程中，线框中产生的热量Q=4mgdsinα-BILd．
（2）如图所示．
（3）装置最终在斜面上做往复运动的最大速率为

2gdsinα

．
（4）装置最终在斜面上做往复运动的周期T为2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．

点评：本题考查了电磁感应与力学和能量的综合，综合性较强，对学生的能力要求较高，是高考的热点问题，在平时的学习中要加强训练．