在如图所示的直角坐标系中.有一长为L的轻绳一端固定在第一象限内的O′点.且可绕O′点在竖直平面内转动.另一端拴有一个质量为m的小球.小球电荷量为+q.OO′连线与y轴成45°.OO′的长度为L．在x轴上方有水平向左的匀强电场E1.在x轴下方有竖直向上的匀强电场E2.且E1=E2=$\frac{mg}{q}$.在x轴下方的虚线右侧有垂直纸面向外的匀强磁场.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

在如图所示的直角坐标系中，有一长为L的轻绳一端固定在第一象限内的O′点，且可绕O′点在竖直平面内转动，另一端拴有一个质量为m的小球，小球电荷量为+q，OO′连线与y轴成45°，OO′的长度为L．在x轴上方有水平向左的匀强电场E₁，在x轴下方有竖直向上的匀强电场E₂，且E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$，在x轴下方的虚线（虚线与y轴成45°）右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．先将小球放在O′的正上方，从绳恰好绷直处由静止释放，小球进入磁场时将绳子断开．求：
（1）绳子第一次绷紧后小球的速度大小．
（2）小球刚进入磁场区域时的速度．
（3）小球从进入磁场到第一次经过x轴上的时间．

分析（1）在绳没有拉直之前，小球做的是匀加速直线运动，位移的大小为绳的长度，根据匀变速直线运动的规律可以求得运动的时间；
（2）当绳被拉直时，小球的沿着绳方向的速度变为零，只有垂直绳方向的速度的大小，之后再电场的作用下，小球加上运动，根据动能定理可以求得小球进入磁场是的速度的大小；
（3）小球在磁场中做的是圆周运动，根据圆周运动的周期公式可以求得小球的在磁场中运动的时间，小球离开磁场后，进入电场在做匀速直线运动，由此可以求得小球的运动的总时间．

解答解：（1）小球一开始受到的合力为$\sqrt{2}mg$，作匀加直线运动，绷紧之前速度为v₁，绳子恰好处于水平状态
根据动能定理得：$\sqrt{2}$mg•$\sqrt{2}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
得：v₁=2$\sqrt{gL}$
将v₁沿水平方向和竖直方向分解，绷紧后瞬间小球沿绳的方向的速度瞬时变不零，则小球的速度瞬间变为垂直于绳的方向，大小为 ${v_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{v_1}=\sqrt{2gL}$
（2）由题意知：小球刚进入磁场时将绳断开，则小球之后做匀速圆周运动，设刚进入磁场时的速度为v₃，据动能定理得：$\sqrt{2}mg•（1-cos\frac{π}{4}）L=\frac{1}{2}mv_3^2-\frac{1}{2}mv_2^2$
解得：v₃=$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$
（3）如图所示：小球垂直于磁场边界进入磁场，做匀速圆周运动，设轨道半径为r由牛顿第二定律可得：
qv₃B=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{r}$
可得 $r=\frac{{m{v_3}}}{qB}$
经过半圆后射出磁场，后做匀速直线运动，运动的距离 d=2r；
设经过的时间为t，则有：$t=\frac{1}{2}×\frac{2πm}{Bq}+\frac{2r}{v_3}=\frac{（π+2）m}{qB}$
答：（1）绳子第一次绷紧后小球的速度大小是$\sqrt{2gL}$．
（2）小球刚进入磁场区域时的速度是$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$．
（3）小球从进入磁场到第一次经过x轴上的时间为$\frac{（π+2）m}{qB}$．

点评电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．

练习册系列答案

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12．

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12．

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