Question

如图所示，一轻质弹簧一端固定在竖直墙上，另一端放一个可视为质点的质量为m小物块A．当弹簧处于原长时，小物块A处在O点，现使轻弹簧压缩x₀至M点被锁定，在右方距O点位移为L的N点有一质量为M的物块静止在半径为R的光滑半圆形轨道底端，某时刻轻弹簧解除锁定，小物块A运动到N点与物块B发生碰撞，碰撞后B恰能通过半圆形轨道上的最高点E做圆周运动，小物块A也恰好能返回到O点速度为零，已知：小物块A与地面的动摩擦因数为μ、小物块A的质量m、物块B的质量M、L、x₀及圆弧半径R．
求：（1）碰后A、B的速度
（2）碰前A的速度
（3）弹簧被锁定时具有的弹性势能．

Answer 1

分析：（1）由题意，碰撞后B恰能通过E点做圆周运动，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出B经过E点时的速度，对于B，从最低点到最高点的过程，运用机械能守恒求出碰后瞬间B的速度．对于A，从碰后到回到O点过程，由动能定理求解碰后A的速度．
（2）对A、B碰撞过程，由动量守恒求解碰前A的速度．
（3）对于系统从弹簧解锁到AB碰撞前的过程，运用能量守恒列式，即可求得弹簧被锁定时具有的弹性势能．

解答：解：（1）由题知：物体B过轨道最高点时有：
Mg=M

v 2 B1

R

得v_B1=

gR

…①
对物B：从最低点到最高点，机械能守恒，则得：
 

1

2

M

v

2 B

=

1

2

M

v

2 B1

+Mg?2R…②
由①②得：v_B=

5gR

… ③
即碰后B的速度为

5gR

对A：从碰后到回到O点过程，由动能定理得：
-μmgL=0-

1

2

mv

′

2 A

解得：v′_A=

2μgL

…④
（2）对A、B碰撞过程动量守恒有：
 mv_A=-mv′_A+Mv_B… ⑤
由③④⑤得：v_A=-

2μgL

+

M

m

5gR

…⑥
（3）对于系统从弹簧解锁到AB碰撞前的过程，由能量守恒有：
   E_p=

1

2

m

v

2 A

+μmg（x₀+L）…⑦
由⑥⑦得：E_p=

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）
即弹簧被锁定时具有的弹性势能为

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．
答：
（1）碰后A、B的速度分别为

2μgL

和

5gR

．
（2）碰前A的速度是-

2μgL

+

M

m

5gR

．
（3）弹簧被锁定时具有的弹性势能为

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．

点评：本题的过程较为复杂，关键要抓住B到达E点的临界条件和碰撞过程的动量守恒、系统的能量守恒进行求解．