Question

如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R₁和R₂相连，且R₁=R₂=R，R₁支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨的接触粗糙且始终接触良好，现让导体棒ab从静止开始释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为V，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的

3

4

．已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；
（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热是多少？
（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电量为q，求这段距离是多少？

Answer 1

分析：（1）当导体棒匀速运动时达到稳定状态，此时速率为V，重力功率为mgVsinθ．由E=BLV、I=

E

R总

、P_电=I²R_总，得到回路的总电功率P_电，根据电功率为重力功率的

3

4

，列式求磁感应强度B．并求出通过ab棒的电流I；
（2）根据重力功率等于电功率与克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中产生的电热；
（3）S断开后，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It，得到电量q与距离的关系，即可求出距离．

解答：解：（1）回路中的总电阻为：R_总=

3

2

R
当导体棒ab以速度V匀速下滑时棒中的感应电动势为：E=BLV
此时棒中的感应电流为：I=

E

R总

此时回路的总电功率为：P_电=I²R_总
此时重力的功率为：P_重=mgVsinθ．
据题给条件有：P_电=

3

4

P重
解得：I=

mgVsinθ 2R

，B=

3

2L

mgRsinθ 2V

 
（2）设导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力大小为f，根据能的转化和守恒定律可知：
   P_重=P_电+fV
则有

1

4

mgVsinθ=fV
解得：f=

1

4

mgsinθ
导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和：
   mgsinθ?x=

1

2

mV2+Q+fx
解得：Q=

3

4

mgsinθ?x-

1

2

mV2
（3）S断开后，回路中的总电阻为：R_总′=2R
设这一过程经历的时间为△t，这一过程回路中的平均感应电动势为

.

E

，通过导体棒ab的平均感应电流为

.

I

，导体棒ab下滑的距离为S，则：
 

.

E

=

△Φ

△t

=

BLS

△t

，

.

I

=

. E

R总′

=

BLS

2R△t

得：q=

.

I

△t=

BLS

2R

解得：S=

4q

3

2VR mgsinθ

答：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小

3

2L

mgRsinθ 2V

，达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I为

mgVsinθ 2R

；
（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热是

3

4

mgsinθ?x-

1

2

mV2；
（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电量为q，这段距离是

4q

3

2VR mgsinθ

．

点评：解答本题关键是通过分析功率关系，求出磁感应强度和摩擦力，是电磁感应与电路结合的题目，明确电路的结构解决问题．同时，对于感应电量，要很熟练地根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It进行推导．