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精英家教网风洞实验室可产生水平方向的、大小可调节的风力.在风洞中有一个固定的支撑架ABC,该支撑架的外表面光滑,且有一半径为R的四分之一圆柱面,支撑架固定在离地面高为2R的平台上,平台竖直侧壁光滑,如图所示,地面上的D点处有一竖直的小洞,小洞离侧壁的水平距离为R,现将质量分别为m1和m2的两个小球用一根不可伸长的轻绳连接按图示的方式置于圆柱面上,球m1放在柱面底部的A点,球m2竖直下垂.
(1)在无风情况下,将两球由静止释放(不计一切摩擦),小球m1沿圆柱面向上滑行,到最高点C恰与圆柱面脱离,则两球的质量之比m1:m2是多少?(m1到最高点时m2尚未着地)
(2)改变两小球的质量比,并使它们由静止开始运动,同时开动风机,产生均匀、恒定、水平向左的风,当小球m1滑至圆柱面的最高点C时绳恰好断裂,通过调节风力F的大小,使小球m1恰能与洞壁无接触地落入小洞D的底部,求小球m1经过C点时的速度及水平风力F的大小.
分析:(1)小球m1到最高点C恰与圆柱面脱离,此时圆柱体对小球的支持力恰好为零,由重力提供向心力,根据牛顿第二定律求出小球在C点的速度.对于m1和m2组成的系统,在小球m1沿圆柱面向上滑行的过程中,机械能守恒,由机械能守恒定律列式求质量之比;
(2)由于风力恒定,小球m1滑至圆柱面的最高点C绳断裂后,小球m1在水平方向做末速度为零的匀减速运动,在竖直方向做自由落体运动,由运动学公式求出小球m1经过C点时的速度和水平方向的加速度,由牛顿第二定律求水平风力F.
解答:解:(1)小球m1在C点恰好离开圆柱面,由圆周运动规律可知小球在C点时只由重力提供向心力,mg=m
v
2
c
R

小球在C点的速度为:vc=
gR
                 
由m1和m2组成的系统机械能守恒,则将两球由静止释放到小球m1离开C点时有:
   m2g?(
2πR
4
)-m1gR=
1
2
(m1+m2)
v
2
c
                    
由以上两式解得:m1:m2=(π-1):3
(2)绳子断裂后小球m1在水平方向的平均速度为:
.
v
=
R
t

小球m1在下落过程中在竖直方向做自由落体运动,运动时间为:t=
6R
g

小球m1在水平方向做末速度为零的匀减速运动,小球m1在离开C点时的速度为:vc=2
.
v

由解得:vc=
2gR
3

由匀变速运动规律可知,小球在水平方向的加速度大小为:a=
v
2
c
2R
=
g
3

由牛顿第二定律可求得小球所受风力为:F=ma=
mg
3

答:
(1)两球的质量之比m1:m2是(π-1):3.
(2)小球m1经过C点时的速度为
2gR
3
,水平风力F的大小是
mg
3
点评:本题第1题是系统的机械能守恒与向心力结合,把握住最高点的临界条件:圆柱体的支持力为零,由重力提供小球的向心力是关键.第2题关键是对小球进行受力分析,结合正交分解法,根据牛顿第二定律列式求解.
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