Question

如图甲所示，CD为半径r=1.8m的光滑绝缘圆弧轨道，其所对应的圆心角θ=90°，轨道末端水平．木板B长L=10m、质量M=1.2kg，静止放置在粗糙水平地面MN上，左端位于M点，上表面与CD轨道末端相切．PQ左侧为匀强磁场区域，磁感应强度B₀=1T，方向垂直纸面向外．PQ右侧为匀强电场区域，电场强度随时间变化的关系如图乙所示，规定电场方向竖直向下为正方向．一质量m=1kg、带电量q=+0.1C的滑块A在某一时刻由C点静止释放．已知滑块A与木板B之间的动摩擦因素μ₁=0.5，木板B与水平地面之间的动摩擦因素μ₂=0.2，可将滑块视为质点，g取10m/s²．求：
（1）滑块A滑至圆弧轨道最低点时的速度大小和此时滑块A对轨道的压力．
（2）若滑块A在t=0时进入电场区域，滑块A最终静止时离D点的距离．
（3）若滑块A在t=2s时进入电场区域，滑块A最终静止时离D点的距离．

Answer 1

分析：（1）小物块从C处运动到D点的过程中，只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒，得出小物块滑到D点时的速度大小v．
（2）先求滑块与木板的摩擦力和木板与地面的摩擦力，判断出木板不动，应用运动学知识求解．
（3）滑块在周期性变化的电场中做匀变速直线运动，根据运动学知识求每个运动过程的加速度，速度，位移，最后加和．

解答：解：（1）从C到D，物体机械能守恒：mgr=

1

2

mV2
解得：V=

2gr

=6m/s
由向心力公式知：N-mg-qVB=

mV2

r

解得：N=30.6N，方向竖直向上，
由牛顿第三定律知对轨道的压力为30.6N，方向竖直向下
（2）A与B间的摩擦力：f₁=μ₁（mg-qE）=2N
B与水平面间的摩擦力：f₂=μ₂（mg+Mg-qE）=3.2N
f₁＜f₂，所以木板不动：a=

f1

m

=2m/S2
滑块静止用时：t=

V

a

=3s，电场方向恰好未改变，
滑行距离：S=

V2

2a

=9m＜L，未从木板滑落
所以A静止时离D的距离为9m
（3）从2S到3S过程中，滑块加速度：a=2m/s²，
3S时滑块速度：V₁=V-at₁=4m/s
此过程中滑块的位移：S1=

1

2

(V+V1)t1=5m
此后电场反向：f₁′=μ₁（mg+qE）=8N
f₂′=μ₂（Mg+mg+qE）=5.6N
所以木板加速运动，此时AB的加速度分别为：a1=

f1′

m

=8m/S2
a2=

f1′-f2′

M

=2m/S2
速度相等用时t₂：V₁-a₁t₂=a₂t₂
解得：t₂=0.4S
共同速度：v₂=a₂t₂=0.8m/s
此过程中位移：S2=

1

2

(V1+V2)t2=0.96m
此后电场强度为零，二者共同减速运动：a′=

μ2(Mg+mg)

M+m

=2m/S2
到静止用时：t3=

V2

a′

=0.4S
此过程位移：S3=

V 2 2

2a′

=0.16m
所以整个过程的位移：S=S₁+S₂+S₃=6.12m
答：（1）滑块A滑至圆弧轨道最低点时的速度大小6m/s
此时滑块A对轨道的压力30.6N，方向竖直向上．
（2）若滑块A在t=0时进入电场区域，滑块A最终静止时离D点的距离9m．
（3）若滑块A在t=2s时进入电场区域，滑块A最终静止时离D点的距离6.12m．

点评：该题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律、牛顿第二定律以及牛顿第三定律，解决本题的关键熟练这些定理、定律的运用．