Question

5．已知地球半径R，地球表面重力加速度g．卫星m绕地球做圆周运动，轨道半径为r．求：
（1）卫星的加速度a；
（2）卫星的线速度v；
（3）卫星的角速度ω；
（4）卫星的周期T；
（5）卫星的动能n．

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mrω²=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$ 从而可求得各量的表达式．

解答 解：由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mrω²=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   ①
又GM=gR²   ②
  联立以上2式可得：
（1）由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma 与GM=gR²：可得a=$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$  
  （2）由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$a=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 与GM=gR²：可得 v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$  
  （3）由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mrω² 与GM=gR² 得ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$  
  （4）G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$       又GM=gR²   得 T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$  
  （5）n=$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{r}$
答：（1）卫星的加速度a为=$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
（2）卫星的线速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$ 
（3）卫星的角速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$ 
（4）卫星的周期T为T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；
（5）卫星的动能为$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{r}$n

点评 关键知道万有引力提供向心力，明确黄金定律是解题的关键．