Question

如图所示，一个内轨光滑外轨粗糙的圆形轨道竖直放置，圆心处有一个带正电的点电荷（内外轨相距很近，半径均可视为R），在轨道最低点放一个带负电的小球，质量为m，直径略小于内外轨的距离，现给小球一个水平初速度v0=

2gR

，经过一段时间后，小球在P、Q之间来回往复运动不止，OP、OQ与竖直方向的夹角为θ=37°．（cos37°=0.8，sin37°=0.6）试求：
（1）小球能否通过最高点？
（2）小球与圆心点电荷的库仑力；
（3）整个过程中小球在最低点对外轨的最大压力；
（4）整个过程中小球克服摩擦所做的功W_f和库仑力所做的功W_k．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒条件判定是否守恒，再由守恒定律即可求解；
（2）由题意可知：小球在P、Q之间来回往复运动不止，则当小球运动到最低点时，恰好由库仑力与重力提供向心力，从而根据牛顿第二定律可求出库仑力的大小；
（3）整个过程中小球在最低点速度最大时，则球对外轨的压力最大，因此根据牛顿第二定律可确定轨道对球的支持力，再由牛顿第三定律即可求解；
（4）由于库仑力与速度方向始终垂直，所以库仑力不做功．因此对小球整个过程由动能定理则可求出克服摩擦力做功．

解答：解：（1）假设没有摩擦力，则过程中机械能守恒，
因此由机械能守恒定律可知：

1

2

m(

2gR

)2=mgh
解得：h=R，因此小球不可能到达最高点；
（2）根据经过一段时间后，小球在P、Q之间来回往复运动不止，则说明不再受到摩擦力作用，
则有当小球运动到最低点时，恰好由库仑力与重力提供向心力，
根据机械能守恒定律可得：mgR(1-cos37°)=

1

2

mv2
解得：v²=0.4gR
再由牛顿第二定律可得：F-mg=m

v2

R

解得：F=1.4mg
（3）整个过程中小球在最低点速度最大时，则球对外轨的压力最大，
因此根据牛顿第二定律可得：F+N-mg=m

v 2 0

R

解得：N=1.6mg
（4）由于库仑力与速度方向始终垂直，所以库仑力不做功．即W_库=0
再由动能定理对小球在整个过程中，则有Wf=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=0.8mgR
答：（1）小球不能否通过最高点；
（2）小球与圆心点电荷的库仑力为1.4mg；
（3）整个过程中小球在最低点对外轨的最大压力为1.6mg；
（4）整个过程中小球克服摩擦所做的功W_f为0.8mgR和库仑力所做的功W_k为零．

点评：考查机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律与第三定律及向心力公式，并学会紧扣题中关键的语句作为突破点，形成分析问题与解决问题的能力．