Question

5．为了研究过山车的原理，某同学提出下列设想：取一个与水平方向夹角α=37°、长L=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m=0.5kg的小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时的速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5．（g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）求小物块到达B点时的速度大小．
（2）若小物块在圆轨道最高点P处恰好无压力，且在圆轨道最低点D时，对D点的压力为30N，求圆轨道的半径和小物块在P处的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据速度的合成与分解求得到达A点的速度，从A到B根据牛顿第二定律和运动学公式求得到达B点的速度；
（2）在D点根据牛顿第二定律求得半径，在P点根据牛顿第二定律求得速度

解答 解：（1）由A点时的速度方向恰沿AB方向，得：
v_A═$\frac{{v}_{0}}{cos37°}=\frac{4}{0.8}m/s$=5m/s　
小物块从A运动到B的过程，有：
2aL=${v}_{B}^{2}{-v}_{A}^{2}$
mgsin 37°-μmgcos 37°=ma　
解得：v_B=$\sqrt{33}$m/s．　
（2）小物块对D点的压力为30N，有：
F_ND-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
v_D=v_B
可解得圆轨道的半径r=0.66m
小物块对P点无压力，有：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$　
解得小物块在P处的速度大小v_P=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{33}{5}}m/s$
答：（1）小物块到达B点时的速度大小为$\sqrt{33}$m/s．
（2）若小物块在圆轨道最高点P处恰好无压力，且在圆轨道最低点D时，对D点的压力为30N，圆轨道的半径为6.6m，小物块在P处的速度大小为$\sqrt{\frac{33}{5}}m/s$．

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、运动学公式及牛顿第二定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．