Question

如图所示，在一光滑绝缘的水平面上，静置两个质量均为m，相距为L的小球，其中A球带正电q，B球不带电．若在水平面上加一水平向右的匀强电场，场强为E．A球受电场力作用，向右运动与B球碰撞，设每次碰撞前后两球交换速度，并且碰撞过程无电荷转移．问：在A、B两球第n次碰撞前瞬间，A球通过的总位移S．

Answer 1

分析：第一次碰撞前，B静止，A做初速度为零的匀加速运动，由动能定理可以求出碰前A的速度；碰撞后B球做匀速直线运动，A球做匀加速直线运动，当两者位移相等时再次发生碰撞，由牛顿第二定律求出A的加速度，由匀变速运动的速度公式与位移公式、匀速直线运动的位移公式分析答题．

解答：解：对A由牛顿第二定律得：加速度a=

F

m

=

qE

m

，
以A为研究对象，由动能定理得：qEL=

1

2

mv₁²-0，
解得：两球第一次碰撞前瞬间，A球速度：v₁=

2qEL m

=

2aL

；
两球第一次碰撞后瞬间，A球速度0，B球速度v₁． 
碰后A做匀加速直线运动，B做匀速直线运动，当它们位移相等时再次发生碰撞，
两球第二次碰撞前瞬间，有 v1t1=

1

2

a

t

2 1

，解得：t1=

2v1

a

，
此时A球速度：v₂=at₁=2v₁，
两球第二次碰撞后瞬间，A球速度v₁，B球速度v₂=2v₁，
两球第三次碰撞前瞬间，由v2t2=v1t2+

1

2

a

t

2 2

，
解得：t2=

2(v2-v1)

a

=

2v1

a

，
A球速度  v₃=v₁+at₂=3v₁，
两球第三次碰撞后瞬间，A球速度v₂，B球速度v₃．
两球第四次碰撞前瞬间，由v3t3=v2t3+

1

2

a

t

2 3

，
解得：t3=

2(v3-v2)

a

=

2v1

a

，
A球速度：v₄=v₂+at=4v₁，
…
可推得第n次碰撞前瞬间两球分别的速度为：
A球速度v_n=nv₁，B球速度v_n-1=（n-1）v₁，
由动能定理，得：qES=

1

2

m

v

2 n

+

1

2

m

v

2 n-1

，
即：qES=

1

2

m

v

2 1

[n2+(n-1)2]，
把v₁的值代入上式，解得：S=（2n²-2n+1）L，
答：在A、B两球第n次碰撞前瞬间，A球通过的总位移为=（2n²-2n+1）L．

点评：分析清楚物体的运动过程与运动性质、应用匀变速运动的速度公式、位移公式、匀速直线运动的位移公式即可正确解题，解题时注意数学归纳法的应用．