Question

（2011?商丘三模）如图所示，静止在粗糙水平面上的斜面体有三个光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB与水平方向成37°角，斜面AC与水平方向成
53°角，斜面CD与水平方向成30°角，A点与C点的竖直高度为h₁=0.8m，C点与D点的竖直高度为h₂=3.25m．在D点右侧的水平面上有一个一端固定的轻质弹簧，自然长度时弹簧左端到D点的水平距离为s=3.8m．质量均为m=1kg的物体甲和乙同时从顶点A由静止释放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙两物体下滑过程中，斜面体始终处于静止状态，且两物体运动中经过B点、C点、D点时，速度大小不改变，只改变方向．乙进入水平面后向右运动，与弹簧接触后压缩弹簧，最大压缩量为x=0.25m，然后弹簧又将乙物体弹开，乙物体向左运动恰好到达D点停止，甲物体进入水平面后便向左运动最终停止．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）乙物体与水平面的动摩擦因数？
（2）弹簧的最大弹性势能为多少？
（3）通过计算，说明甲乙两物体是否同时滑到水平面上？
（4）若以释放甲乙物体时作为t=0时刻，作出斜面体受到地面的摩擦力大小f随时间变化的图线（不要求写出作图依据，但要在图象中标明有关数据）．

Answer 1

分析：（1）乙物体最后停在D点，从开始下滑到停止过程中有重力及摩擦力做功，则对乙物体由动能定理可求得乙物体与水平面间的动摩擦因数；
（2）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，则由动能定理可求得最大弹性势能；
（3）由牛顿第二定律可求得甲在AB上滑行的加速度，则由位移公式可求得甲下滑的时间；同理，对乙分两段由牛顿第二定律可求得物体的加速度，再由运动学公式求得下滑时间，则可得出两物体是否同时滑到底部；
（4）斜面体在水平方向受两物体的压力的分力作用和摩擦力的作用而处于静止状态，求得两压力的合力即可确定摩擦力的大小．

解答：解：（1）乙物体从静止释放到最后停止在D点，由动能定理则
mg（h₁+h₂）-μmg2（s+x）=0
解得：μ=0.5                                                
（2）乙物体从静止释放到弹簧被压缩到最短，设此时弹簧的最大势能为E_P，则
E_P=mg（h₁+h₂）-μmg （s+x）
解得 E_p=20.25J       
（3）甲在AB上滑行的加速度 a_甲=gsin37°=6m/s²
设甲在AB上滑行的时间为t_甲，则  

h1+h2

sin37°

=

1

2

a_甲t_甲²
解得 t_甲=1.5s                                              
乙在AC上的加速度为 a_乙1=gsin53°=8m/s²
乙在AC上滑行的时间为t_乙1，则 

h1

sin53°

=

1

2

a_乙1t_乙1²
解得 t_乙1=0.5s                                              
此时的速度为 v=a_乙1t₁=4m/s
乙在CD上的加速度为 a_乙2=gsin30°=5m/s²
乙在CD上滑行的时间为t_乙2，则 

h2

sin30°

=vt_乙2+

1

2

a_乙2t²_乙2
解得 t_乙2=1s                                       
所以乙从A滑到D的时间是t_乙=t_乙1+t_乙2=1.5s
故甲乙两物体同时滑到水平面上．            
（4）当乙物体在AC面上时，两压力水平方向的分力恰好大小相等，方向相反，故摩擦力为零，当乙滑到CD面上时，乙物体压力的水平分力减小，可分别求得两分力，则两分力的合力为0.47N，故答案如图：

点评：若动力学题目中不牵扯时间时，一般可由动能定理或功能关系求解；但若要求与时间有关的物理问题时，一般优先考虑牛顿第二定律与运动学的结合．