Question

如图所示，P点与R点关于坐标原点对称，距离为2a．有一簇质量为m、电量为q的离子，在xoy平面内，从P点以同一速率υ，沿与x轴成θ（0＜θ＜90）的方向射向同一个垂直于xoy平面的有界匀强磁场，磁感应强度为B，这些离子的运动轨迹对称于y轴，聚焦到R点．
（1）求离子在磁场中运动的轨道半径r
（2）若离子在磁场中运动的轨道半径为a时，求与x轴成30°角射出的离子从P点到达R点的时间t
（3）试推出在x＞0的区域中磁场的边界点坐标x与y之间满足的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）离子进入磁场后，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据向心力公式即可求解；
（2）先根据几何关系求出进入和离开磁场时的坐标，求出粒子运动的路程，根据时间等于路程除以速率求解；
（3）根据几何关系表示出x、y与半径r的关系，带入数据即可得出x与y之间满足的关系式．
解答：解：（1）离子进入磁场后，受到洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得：

解得：
（2）如图所示，由对称性及几何关系可得，离子进入磁场A点坐标为：（，）离开磁场B点坐标为：（，）
由几何关系，离子运动的路程为：
则：
（3）如图所示，设离子运动的轨道半径为r，在x＞0的区域内，令离子离开磁场后与x轴夹角为θ．
由几何关系得：x=rsinθ

代入相关数据并化简得：
答：（1）求离子在磁场中运动的轨道半径r为；
（2）与x轴成30°角射出的离子从P点到达R点的时间t为；
（3）在x＞0的区域中磁场的边界点坐标x与y之间满足．
点评：本题是带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度较大．