题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点(点
均在第一象限),且直线
的斜率成等比数列,证明:直线
的斜率为定值.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组,解得
后可得椭圆的方程.(2)由题意设直线
的方程为
,与椭圆方程联立后消元可得二次方程,根据二次方程根与系数的关系可得直线
的斜率,再根据题意可得
,根据此式可求得
,为定值.
试题解析:
(1)由题意可得,解得
.
故椭圆的方程为
.
(2)由题意可知直线的斜率存在且不为0,设直线
的方程为
,
由,消去
整理得
,
∵直线与椭圆交于两点,
∴.
设点的坐标分别为
,
则,
∴.
∵直线的斜率成等比数列,
∴,
整理得,
∴,
又,所以
,
结合图象可知,故直线
的斜率为定值.
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