Question

若函数f（x）=

ax+b

x2+1

的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：令y=f（x）=

ax+b

x2+1

，去分母整理得yx²-ax+y-b=0，将y看作是系数，此方程一定有解，故判别式△≥0，由此得到关于y的不等式，利用根系关系建立起常数a，b的方程，从而求出所求．

解答：解：令y=f（x）=

ax+b

x2+1

，
去分母得yx²-ax+y-b=0，①
对于①，有实根的条件是△≥0，
即（-a）²-4y（y-b）≥0，
∴4y²-4by-a²≤0．又-1≤y≤4，
∴4y²-4by-a²=0的两根为-1和4．
∴

-1+4=b -1×4=- a2 4

，解得

a=4 b=3

或

a=-4 b=3

．

点评：本题考点是函数的值域，考查了判别式法求值域的变形运用，得到了关于函数值y的不等式，再由根系关系建立关于所求参数的方程求参数，此方法是解决分式型二次函数值域求法的便捷方法，属于中档题．