Question

棱长都为2的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，则对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角的余弦值为

13

4

．

Answer 1

分析：作A₁E⊥C₁D₁，垂足为E，则可得对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角，从而可求对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角的余弦值．

解答：解：作A₁E⊥C₁D₁，垂足为E，连CE，A₁E，A₁C．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直平行六面体
∴A₁E⊥平面DCC₁D₁，
∴∠A₁CE就是对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角
∵CE?平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁E⊥CE
∵棱长都为2的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，
∴A1E=2sin60°=

3

，D₁E=1
∴A1C1=2

3

∴A₁C=4
∴CE=

13

在Rt△A₁EC中，cos∠A₁CE=

CE

A1C

=

13

4

故答案为：

13

4

点评：本题重点考查线面角，解题的关键是利用线面垂直，作出线面角，属于中档题．