Question

设直线l：y=3x-2与椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线x+y=0上，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：根据题意，设出A、B点及其中点的坐标，与中点坐标公式和直线的斜率计算公式联系，由点差法，可得

a2

b2

=3；结合椭圆的离心率的计算方法e=

1- b2 a2

=

6

3

；代入a、b的关系可得答案．

解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有K_AB=

y1-y2

x1-x2

=3；
设AB的中点为M，其坐标为（m，n），则（x₁+x₂）=2m，（y₁+y₂）=2n；
又由弦AB的中点M在直线x+y=0上，即m+n=0，
A、B两点在椭圆上，
则

y12

a2

+

x12

b2

=1，①

y22

a2

+

x22

b2

=1，②；
①-②可得，

1

a2

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-

1

b2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）；
化简可得：

a2

b2

=3；
则椭圆的离心率为e=

1- b2 a2

=

6

3

；
故选A．

点评：本题考查直线与椭圆的综合运用，注意点差法的运用，即设而不求的方法；一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．